Rachunek rozniczkowy funkcji wielu zmiennych,
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
[AH]Rachunek róŜniczkowy funkcji wielu zmiennych.
1
Rachunek róŜniczkowy funkcji wielu zmiennych.
Pochodne cząstkowe.
Definicja 1
. Niech
f
:
A
, gdzie
A
¯
k
oraz niech
P
0
: ¼
x
1,0
,
x
2,0
,
q
,
x
k
,0
½
będzie ustalonym elementem zbioru
A
.
JeŜeli ( przy ustalonym
i
5 À
1, 2,
q
,
k
Á ) istnieje pochodna funkcji jednej zmiennej :
f
i
¼
x
½ :
f
¼
x
1,0
,
x
2,0
,
q
,
x
i
?
1,0
,
x
,
x
i
+
1,0
,
q
,
x
k
,0
½ ,
gdzie
D
¼f
i
½ : À
x
:
¼
x
1,0
,
x
2,0
,
q
,
x
i
?
1,0
,
x
,
x
i
+
1,0
,
q
,
x
k
,0
½ 5
A
Á
w punkcie
x
i
,0
, to nazywamy ją
pochodn
ą
cz
ą
stkow
ą ( pierwszego rzędu )
funkcji
f
wzgl
ę
dem zmiennej
x
i
w punkcie
P
0
.
Oznaczać ją będziemy jednym z następujących symboli :
/
f
/
x
i
¼
P
0
½ ,
/
/
x
i
f
¼
P
0
½ ,
f
x
r
¼
P
0
½ ,
f
x
i
¼
P
0
½ .
Wniosek 1
. Tak więc :
/
f
f
i
¼
x
i
,0
+
h
½ ? f
i
¼
x
i
,0
½
h
:
h
0
f
¼
x
1,0
,
x
2,0
,
q
,
x
i
?
1,0
,
x
i
,0
+
h
,
x
i
+
1,0
,
q
,
x
k
,0
½ ?
f
¼
x
1,0
,
x
2,0
,
q
,
x
i
?
1,0
,
x
i
,0
,
x
i
+
1,0
,
q
,
x
k
,0
½
h
:
lim
h
0
o ile powyŜsza granica istnieje.
Przykłady
:
1
. W przypadku funkcji dwóch zmiennych, czyli gdy
A
¯
2
,
P
0
: ¼
x
0
,
y
0
½ 5
A
mamy :
/
x
¼
x
0
,
y
0
½
:
lim
f
¼
x
0
+
h
,
y
0
½ ?
f
¼
x
0
,
y
0
½
h
/
f
h
0
f
¼
x
0
,
y
0
+
h
½ ?
f
¼
x
0
,
y
0
½
h
/
y
¼
x
0
,
y
0
½ :
lim
h
0
Sens geometryczny powyŜszych pochodnych cząstkowych jest konsekwencją
geometrycznej interpretacji pochodnej funkcji jednej zmiennej. JeŜeli, mianowicie
oznaczymy przez F kąt jaki tworzy styczna do krzywej opisanej układem równań
z
:
f
¼
x
,
y
½
y
:
y
0
( czyli do krzywej będącej przekrojem wykresu funkcji
z
:
f
¼
x
,
y
½
płaszczyzną
y
:
y
0
) w punkcie ¼
x
0
,
y
0
,
f
¼
x
0
,
y
0
½½ z dodatnim kierunkiem osi
liczbowej wyznaczonej przez prostą o równaniu krawędziowym
z
:
0
y
:
y
0
,
natomiast przez G kąt jaki tworzy styczna do krzywej
z
:
f
¼
x
,
y
½
x
:
x
0
w punkcie
¼
x
0
,
y
0
,
f
¼
x
0
,
y
0
½½ z dodatnim kierunkiem osi liczbowej wyznaczonej przez prostą
/
x
i
¼
P
0
½ : f
r
¼
x
i
,0
½ :
lim
/
f
[AH]Rachunek róŜniczkowy funkcji wielu zmiennych.
2
o równaniu krawędziowym
z
:
0
x
:
x
0
, to :
/
x
¼
x
0
,
y
0
½ :
tg
F , natomiast
/
y
¼
x
0
,
y
0
½ :
tg
G , co ilustrują poniŜsze rysunki.
/
f
/
x
¼
x
0
,
y
0
½ :
tg
F
/
f
/
y
¼
x
0
,
y
0
½ :
tg
G
2
. JeŜeli
A
¯
3
,
P
0
: ¼
x
0
,
y
0
,
z
0
½ 5
A
, to
/
f
/
x
¼
x
0
,
y
0
,
z
0
½ :
lim
h
0
f
¼
x
0
+
h
,
y
0
,
z
0
½ ?
f
¼
x
0
,
y
0
,
z
0
½
h
/
f
f
¼
x
0
,
y
0
+
h
,
z
0
½ ?
f
¼
x
0
,
y
0
,
z
0
½
h
/
y
¼
x
0
,
y
0
,
z
0
½ :
lim
h
0
/
z
¼
x
0
,
y
0
,
z
0
½ :
lim
f
¼
x
0
,
y
0
,
z
0
+
h
½ ?
f
¼
x
0
,
y
0
,
z
0
½
h
h
0
Definicja 2
. JeŜeli zbiór
B
¯
A
tych punktów
P
5
A
w których funkcja
f
:
A
,
(
A
¯
k
) posiada pochodną cząstkową
/
f
/
x
i
¼
P
½ ( przy ustalonym
i
5 À
1, 2,
q
,
k
Á )
/
f
/
x
i
jest niepusty, to moŜemy rozwaŜać funkcję
:
B
, która kaŜdemu punktowi
/
f
/
x
i
/
f
/
x
i
P
5
B
przyporządkowuje liczbę
¼
P
½ . Funkcję
nazywamy wówczas
pochodn
ą
cz
ą
stkow
ą ( rzędu pierwszego )
funkcji
f
wzgl
ę
dem zmiennej
x
i
.
/
x
¼
x
,
y
½ wystarczy
obliczyć zwykłą pochodną względem
x
traktując
y
jako stałą , natomiast aby
obliczyć
/
f
/
y
¼
x
,
y
½ naleŜy obliczyć pochodną względem
y
traktując
x
jako stałą .
A zatem do obliczania pochodnych cząstkowych moŜna posługiwać się wzorami
które obowiązują w przypadku funkcji jednej zmiennej, czyli wzorami na pochodną
sumy, róŜnicy, iloczynu, ilorazu oraz złoŜenia funkcji.
/
f
/
f
/
f
Wniosek 2
. Z definicji pochodnych cząstkowych wynika, Ŝe pochodne cząstkowe są
zwykłymi pochodnymi funkcji jednej zmiennej. Aby obliczyć np.
/
f
[AH]Rachunek róŜniczkowy funkcji wielu zmiennych.
3
Przykłady
:
1
. JeŜeli
f
¼
x
,
y
½ :
x
3
y
4
+
y
2
sin
x
+
x
2
+
2
y
2
+
1
, to mamy :
/
f
/
x
¼
x
,
y
½ :
3
x
2
y
4
+
y
2
cos
x
+
2
x
/
f
/
x
¼
0, 2
½ :
3
6
0
2
6
2
4
+
2
2
6
cos 0
+
2
6
0
:
4
/
f
/
y
¼
0, 2
½ :
4
6
0
3
6
2
3
+
2
6
2
6
sin 0
+
4
6
2
:
8
2
. JeŜeli
f
¼
x
,
y
,
z
½ :
9
y
+
x
2
y
3
z
+
x
y
+
2
, to :
/
x
¼
x
,
y
,
z
½
:
y
+
2
xy
3
z
+
yx
y
?
1
/
f
/
y
¼
x
,
y
,
z
½ : ?
9
x
+
3
x
2
y
2
z
+
x
y
ln
x
y
2
/
f
/
z
¼
x
,
y
,
z
½
:
x
2
y
3
a stąd w szczególności :
/
f
/
x
¼
2, 3,
?
1
½ :
3
+
2
6
2
6
3
3
6 ¼?
1
½ +
3
6
2
3
?
1
:
?
93
/
f
/
y
¼
2, 3,
?
1
½ : ?
9
6
2
+
3
6
2
2
6
3
2
6 ¼?
1
½ +
2
3
ln 2
:
8 ln 2
?
110
3
2
/
f
/
z
¼
2, 3,
?
1
½ :
2
2
6
3
3
:
108
Uwaga
: Z istnienia pochodnych cząstkowych w jakimś punkcie nie wynika
ciągłość funkcji w tym punkcie. Np. dla funkcji
f
:
2
określonej wzorem
f
¼
x
,
y
½ :
1
gdy
xy
:
0
0
gdy
xy
0
mamy :
/
f
/
x
¼
0, 0
½ :
lim
h
0
f
¼
0
+
h
, 0
½ ?
f
¼
0, 0
½
h
:
lim
h
0
f
¼
h
, 0
½ ?
f
¼
0, 0
½
h
:
lim
h
0
1
?
1
h
:
0
/
f
/
y
¼
0, 0
½ :
lim
f
¼
0, 0
+
h
½ ?
f
¼
0, 0
½
h
f
¼
0,
h
½ ?
f
¼
0, 0
½
h
1
?
1
h
h
0
:
lim
h
0
:
lim
h
0
:
0
natomiast granica podwójna
lim
x
0
y
0
f
¼
x
,
y
½ nie istnieje, gdyŜ dla ciągów :
P
r
:
n
,
n
oraz
P
rr
:
0,
n
zbieŜnych do punktu
P
0
:
¼
0, 0
½
jest :
n
,
n
n
n
K
f
¼
P
r
½ :
lim
n
K
f
:
0
,
lim
n
K
f
¼
P
rr
½ :
lim
n
K
f
0,
:
1
oraz
0
1
( porównaj z definicją Heinego granicy funkcji ).
W konsekwencji funkcja
f
nie jest ciągła w punkcie
P
0
:
¼
0, 0
½
.
Definicja 3
. Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego pochodnych cząstkowych
/
f
/
x
i
,
i
5 À
1, 2,
q
,
k
Á nazywamy
pochodnymi cz
ą
stkowymi rz
ę
du drugiego
funkcji
f
:
A
(
A
¯
k
).
/
y
¼
x
,
y
½ :
4
x
3
y
3
+
2
y
sin
x
+
4
y
a stąd w szczególności :
/
f
/
f
9
lim
[AH]Rachunek róŜniczkowy funkcji wielu zmiennych.
4
Pochodną
/
/
x
j
/
f
/
x
i
,
i
,
j
5
À
1, 2,
q
,
k
Á
oznaczamy następującymi symbolami :
/
2
f
/
x
j
/
x
i
/
2
f
/
x
i
/
x
i
,
/
2
/
x
j
/
x
i
f
,
f
x
i
x
j
rr
,
f
x
i
x
j
oraz w przypadku gdy
i
:
j
, to zamiast
/
2
f
/
x
i
2
piszemy
.
/
2
f
/
x
j
/
x
i
Pochodną
w przypadku, gdy
i
j
nazywamy
pochodn
ą
cz
ą
stkow
ą
mieszan
ą
rz
ę
du drugiego
.
/
x
¼
x
,
y
½ :
3
x
2
y
4
+
y
2
cos
x
+
2
x
/
f
/
y
¼
x
,
y
½ :
4
x
3
y
3
+
2
y
sin
x
+
4
y
Wykorzystując ten wynik moŜemy teraz obliczyć pochodne cząstkowe rzędu
drugiego tej funkcji :
/
2
f
/
x
2
¼
x
,
y
½
:
/
/
x
/
x
¼
x
,
y
½
:
/
x
¼
3
x
2
y
4
+
y
2
cos
x
+
2
x
½
:
6
xy
4
?
y
2
sin
x
+
2
/
2
f
/
y
2
¼
x
,
y
½
:
/
/
y
/
y
¼
x
,
y
½
:
/
y
¼
4
x
3
y
3
+
2
y
sin
x
+
4
y
½
:
12
x
3
y
2
+
2 sin
x
+
4
/
2
f
/
x
/
y
¼
x
,
y
½ :
/
/
x
/
f
/
y
¼
x
,
y
½ :
/
x
¼
4
x
3
y
3
+
2
y
sin
x
+
4
y
½ :
12
x
2
y
3
+
2
y
cos
x
/
/
y
¼
3
x
2
y
4
+
y
2
cos
x
+
2
x
½ :
12
x
2
y
3
+
2
y
cos
x
Zwróćmy uwagę, Ŝe dwie ostatnie pochodne cząstkowe, to pochodne mieszane.
/
/
y
/
f
/
x
¼
x
,
y
½ :
/
Twierdzenie 1
.(
Schwarza
) Niech będzie dana funkcja
f
:
A
, gdzie
A
¯
k
jest zbiorem otwartym. JeŜeli pochodne cząstkowe mieszane rzędu
drugiego
/
2
f
/
x
/
y
i
/
2
f
/
y
/
x
istnieją i są ciągłe na
A
, to są one na tym zbiorze
/
2
f
/
x
/
y
/
2
f
/
y
/
x
równe :
:
.
Uwagi
:
1
. W wielu przypadkach, na podstawie opisu konkretnej funkcji moŜemy przewidzieć
jak będą wyglądały pochodne cząstkowe mieszane rzędu drugiego tej funkcji i czy
będą one ciągłe. JeŜeli np. funkcja
f
jest wielomianem swoich zmiennych, to
pochodne cząstkowe dowolnego rzędu tej funkcji teŜ będą wielomianami podobnego
typu, a zatem będą one funkcjami ciągłymi. W takich właśnie przypadkach moŜna
wykorzystać powyŜsze twierdzenie przy obliczaniu pochodnych cząstkowych rzędu
drugiego.
2
. ZałoŜenie o ciągłości pochodnych cząstkowych mieszanych rzędu drugiego funkcji
f
w powyŜszym twierdzeniu jest załoŜeniem bardzo istotnym, co pokazuje poniŜszy
przykład.
Przykład
:
W jednym z poprzednich przykładów zostały obliczone pochodne cząstkowe
rzędu pierwszego funkcji
f
¼
x
,
y
½ :
x
3
y
4
+
y
2
sin
x
+
x
2
+
2
y
2
+
1
:
/
f
/
f
/
/
f
/
/
2
f
/
y
/
x
¼
x
,
y
½ :
[AH]Rachunek róŜniczkowy funkcji wielu zmiennych.
5
Przykład
: Weźmy pod uwagę funkcję dwóch zmiennych
f
określoną wzorem :
f
¼
x
,
y
½ :
xy
3
x
2
+
y
2
, gdy
x
2
+
y
2
;
0
0
, gdy
x
2
+
y
2
:
0
i obliczmy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego tej funkcji.
Dla punktu ¼
x
,
y
½ takiego, Ŝe
x
2
+
y
2
;
0
( czyli takiego, Ŝe ¼
x
,
y
½ ¼
0, 0
½ ) mamy :
/
f
y
3
¼
x
2
+
y
2
½ ?
2
x
6
xy
3
¼
x
2
+
y
2
½
2
:
y
3
¼
x
2
+
y
2
?
2
x
2
½
¼
x
2
+
y
2
½
2
:
y
3
¼
y
2
?
x
2
½
¼
x
2
+
y
2
½
2
/
y
¼
x
,
y
½ :
3
xy
2
¼
x
2
+
y
2
½ ?
2
y
6
xy
3
¼
x
2
+
y
2
½
2
:
xy
2
¼
3
x
2
+
3
y
2
?
2
y
2
½
¼
x
2
+
y
2
½
2
:
xy
2
¼
3
x
2
+
y
2
½
¼
x
2
+
y
2
½
2
natomiast aby obliczyć pochodne cząstkowe w punkcie ¼
0, 0
½ musimy wykorzystać
ich definicje :
h
6
0
3
/
f
f
¼
0
+
h
, 0
½ ?
f
¼
0, 0
½
h
f
¼
h
, 0
½ ?
f
¼
0, 0
½
h
h
2
+
0
2
?
0
h
/
x
¼
0, 0
½ :
lim
:
lim
h
0
:
lim
h
0
:
h
0
0
?
0
h
:
lim
h
0
:
lim
h
0
0
:
0
,
0
6
h
3
/
f
f
¼
0, 0
+
h
½
?
f
¼
0, 0
½
h
f
¼
0,
h
½
?
f
¼
0, 0
½
h
0
2
+
h
2
?
0
h
/
y
¼
0, 0
½ :
lim
:
lim
h
0
:
lim
h
0
:
h
0
0
?
0
h
h
0
0
:
0
.
W konsekwencji mamy :
:
lim
/
f
/
x
¼
x
,
y
½ :
y
3
¼
y
2
?
x
2
½
¼
x
2
+
y
2
½
2
, gdy
x
2
+
y
2
;
0
0
, gdy
x
2
+
y
2
:
0
/
f
/
y
¼
x
,
y
½ :
xy
2
¼
3
x
2
+
y
2
½
¼
x
2
+
y
2
½
2
, gdy
x
2
+
y
2
;
0
0
, gdy
x
2
+
y
2
:
0
Obliczymy teraz pochodne mieszane rzędu drugiego tej funkcji w punkcie ¼
0, 0
½ .
Zgodnie z wcześniejszymi definicjami, mamy :
/
y
¼
0
+
h
, 0
½ ?
/
y
¼
0, 0
½
/
y
¼
h
, 0
½ ?
/
y
¼
0, 0
½
/
x
/
y
¼
0, 0
½ :
/
/
x
/
f
/
y
¼
0, 0
½ :
lim
h
0
:
lim
h
0
:
h
h
h
6
0
2
6 ¼
3
h
2
+
0
2
½
¼
h
2
+
0
2
½
2
?
0
:
lim
h
0
:
lim
h
0
0
?
0
h
h
0
0
:
0
h
/
f
/
f
/
x
¼
0, 0
½
/
f
/
f
/
x
¼
0, 0
½
/
x
¼
0, 0
+
h
½
?
/
x
¼
0,
h
½
?
/
2
f
/
y
/
x
¼
0, 0
½ :
/
f
/
x
/
/
y
¼
0, 0
½ :
lim
h
0
:
lim
h
0
:
h
h
h
3
¼
h
2
?
0
2
½
¼
0
2
+
h
2
½
2
?
0
:
lim
h
0
:
lim
h
0
h
?
0
h
:
lim
h
0
1
:
1
h
i wobec tego :
/
x
/
y
¼
0, 0
½ :
0
1
:
/
2
f
/
y
/
x
¼
0, 0
½
/
x
¼
x
,
y
½ :
/
f
:
lim
h
0
/
f
/
f
/
f
/
f
/
2
f
:
lim
/
2
f
[ Pobierz całość w formacie PDF ]