Rachunek macierzowy, Studia, Geodezja, zzz matematyka, II sem, Macierze
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
A
LGEBRA
L
INIOWA
–
RACHUNEKMACIERZOWY
Pojęcie macierzy pojawiło się w połowie XIX w. w pracach matematyka irlandzkiego W.R. Hamiltona i ang. matematyka
A. Cayleya. Tak zapoczątkowane podstawy teorii macierzy dalej rozwinęli matematycy niemieccy K. Weierstrass i F.G.
Frobenius. Od tamtego czasu teoria ta, będąca działem algebry, znalazła szerokie zastosowanie w matematyce, fizyce i
naukach technicznych.
n
liczb ułoŜonych w prostokątną tablicę zawierającą
m
wierszy i
n
kolumn. Poszczególne składowe tej tablicy oznaczamy symbolicznie przez
´
n
nazywamy układ
m
×
i
a
,
i
=1,2,…,
m
,
j
=1,2,…
n
…
…
…
… … … … …
…
11
a
12
a
11
a
11
¬
a
21
a
22
a
23
a
2
n
¬
A
m n
´
=
a
31
a
32
a
33
a
3
n
¬
wiersze
a
m
1
a
m
2
a
m
3
a
mn
¬
lub krócej
A
m n
´
=
a
ij
i
=
1,2,...,
1,2,...,
m
j
=
n
kolumny
i
a
nazywamy elementem macierzy
A
połoŜonym odpowiednio w
i
-tym wierszu i
j
-tej kolumnie
tej macierzy.
Szczególnerodzajemacierzy
Niech
A a
ij
i
=
=
1,2,...,
1,2,...,
m
j
n
Ze względu na wymiar ....
1 2 3 4
0 9 8 7
4 5
-
macierz
prostokątna
m
≠
n
róŜna liczba wierszy i kolumn
A
=
-
6 7
1 2 3 4
0 9 8 7
4 5 6 7
1 5 8 0
-
macierz
kwadratowa
(stopnian)
m
=
n
równa liczba wierszy i kolumn
A
=
-
-
…
…
…
… … … … …
…
a
a
a
zamiast mówić o
11
12
11
11
a
a
a
a
21
22
23
2
n
n
macierzy kwadratowej
wymiaru n
A
n
´
n
=
a
31
a
32
a
33
a
3
´
n
a
n
1
a
n
2
a
n
3
a
nn
mówimy:
główna przekątna
( diagonala )
տ
macierz kwadratowa
stopnia n
wektor
kolumnowy
n
= 1
tylko jedna kolumna
-
1
9
4
wektor
wierszowy
m
= 1
tylko jeden wiersz
1 5 3 2
]
1
Macierz
Macierz
ą o wymiarze
m
a
=
a
[
Ze względu na wartości elementów ....
macierz
zerowa
a
ij
=
0
wszystkie elementy są równe
zeru
A
=
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
macierz
jedynkowa
a
ij
=
1
wszystkie elementy są równe
jeden
A
=
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
Szczególnerodzajemacierzykwadratowych,st.n
Nazwa
Warunek
Objaśnienia,uwagi Przykład
wszystkie elementy leŜące poza
główną przekątną (inaczej
diagonal
ą) są równe zeru
0 0 0
0 9 0 0
0 0 0
0 0 0 7
a
=
0
i j
¹
diagonalna
ij
A
=
2
5
jednostkowa
oznaczana
3
a
=
{
0
1
i j
¹
wszystkie elementy diagonalne
(tj. leŜące na głównej
przekątnej) są równe 1, a
pozostałe równe zeru
3
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
ij
i j
=
4
elementy rozmieszczone
symetrycznie po obu stronach
głównej przekątnej są sobie
równe
1
-
2
3
4
symetryczna
a
ij
=
a
ji
A
=
-
2
9
5
8
3
5
7
7
0
6
4
8
elementy rozmieszczone
symetrycznie po obu stronach
głównej przekątnej są przeciwne
(wniosek: elementy diagonalne
są równe zeru)
0
-
2 3
-
4
2
0
8 5
skośnie
symetryczna
a
ij
= -
a
ij
A
=
- -
3 8
0
7
4
- -
5
7
0
trójdiagonalna
0 dla
a
=
i j
- >
1
niezerowe mogą być tylko
elementy leŜące na głównej
przekątnej i dwóch przekątnych
sąsiednich
A
=
4 5
7 8 9
1 2 3
11 12
0 0
0
ij
0
0 0
górnotrójkątna
(lub trójkątna
górna)
a
ij
=
0
i j
>
wszystkie elementy leŜące
poniŜej głównej przekątnej są
równe zeru
A
=
4 5 7 13
8 9 5
2 3
12
dolnotrójkątna
(lub trójkątna
dolna)
a
ij
=
0
i j
<
wszystkie elementy leŜące
powyŜej głównej przekątnej są
równe zeru
A
=
4
7 8
3 1 2
5 9 11 12
0 0 0
0 0
0
dodatnio
określona
T
> 0
dla dowolnego wektora
0
kaŜdy z minorów głównych
macierzy
A
jest większy od zera
2 1 1
1 7 0
1 1 2
-
A
=
-
x
¹
A
T
=
A
A A
-
1
,
wartości własne są rzeczywiste
A
= ±
1;
cos
j
sin
j
ortogonalna
A
=
- j
sin
cos
j
tzn.
T
=
3
2
1
9
-
0
0 0
0 0 0
x Ax
det
Działanianamacierzach
równośćmacierzy
A B
= Û =
a b
ij
ij
odpowiednie elementy obu macierzy są
równe
mnoŜeniemacierzyprzez
liczbę
cA ca
=
ij
i
=
=
1,2,...,
1,2,...,
m
kaŜdy element macierzy
A
jest
wymnoŜony przez stałą
c
j
n
C A B a
= ± =
ij
±
b
ij
=
a b
ij
±
ij
kaŜdy element macierzy
C
powstaje
przez zsumowanie odpowiednich
elementów macierzy
A
i
B.
Macierze muszą być tego samego
wymiaru, aby działanie było
wykonalne!!!
dodawanie/odejmowanie
macierzy
A B B A
+ = +
(
A B C A B C
+ + = + +
)
(
)
A
+
( )
- = Ο macierz przeciwna
A
A
m n
´
,
B
n k
´
⇒
C
m k
´
liczba kolumn macierzy
A
oraz liczba
wierszy macierzy
B
musi być taka
sama, Ŝeby działanie było
wykonalne!!!
=
∑
n
AB C c
=
,
ij
a b
is sj
s
=
1
mnoŜeniemacierzy
3 1 2 0
2 3 1 4
-
Schemat Falka
-
-
¯
B
-
3
1 4
5 1
0 11 7 12
11 11 2 16
13
-
®
AB
-
-
-
8 11 4
generalnie
AB BA
¹ , tj. mnoŜenie
macierzy nie jest przemienne
(
a + = a + a
A B
)
A
B
( )
AB C A BC
=
( )
A B C AB AC
(
+ =
)
+
(
A B C AC BC
+
)
=
+
jeśli
A
m n
´
⇒
I A A
m
=
oraz
A I
n
=
A
dzieleniemacierzy
Dzielenie NIE OBOWI
Ą
ZUJE !!!
Zamiast tego mówi si
ę
o mno
Ŝ
eniu przez macierz odwrotn
ą
do danej.
1 2 1
1 2 0 3
2 4 9 8
Przykłady mnoŜenia macierzy:
0 1 2 2
=
3 4 1
4 10 13 18
1 0 5 1
1 2 0 1 2
=
1 0 2 2 1 1 2 1 1 2 2 0
× + ×
× + ×
× + ×
=
4 3 2
3 4 2 1 0
3 0 4 2 3 1 4 1 3 2 4 0
× + ×
× + ×
× + ×
8 7 6
Śladmacierzy
(macierzykwadratowej)
=
∑
n
Tr
A
a
- suma elementów diagonalnych (na głównej przekątnej)
ii
=
1
Macierztransponowanadodanej
Macierz
ą
transponowan
ą
do macierzy
A a
=
ij
i
=
=
1,2,...,
1,2,...,
m
nazywamy macierz powstałą przez zamianę wierszy i kolumn.
j
n
Oznacza się ją symbolem
A
T
=
b
ij
i
=
=
1,2,...,
1,2,...,
n
,
gdzie
b a
ij
=
ji
j
m
3
2
i
Np.
A
=
1 2 3 4 5
9 8 7 6 5
to
A
=
1 9
2 8
3 7
4 6
5 5
Operację wyznaczania macierzy transponowanej do danej nazywamy
transpozycj
ą
danej macierzy.
Wyznacznikmacierzy
Wyznacznik macierzy
definiuje się
wyłącznie
dla macierzy
kwadratowej
A
i oznacza symbolicznie jako
A
lub det
A
.
Metody obliczania wyznacznika macierzy kwadratowej stopnia drugiego i trzeciego:
Niech będzie dana macierz postaci
A
=
a
11
a
12
a
a
21
22
Wówczas wyznacznikiem tej macierzy będzie
det
A
=
a
11
a
12
=
a a
-
a a
a
a
11 22
21 12
21
22
Dla macierzy kwadratowej stopnia trzeciego stosuje się tak zwany
schemat Sarrusa
a
11
a
12
a
13
det
A a
=
a
a
=
a a a
+
a a a
+
a a a
-
a a a
-
a a a
-
a a a
21
22
23
11 22 33
21 32 13
31 12 23
13 22 31
23 32 11
33 12 21
a
a
a
31
32
33
a
11
a
12
a
13
a
a
a
21
22
23
W przypadku macierzy wyŜszych stopni praktycznymi sposobami obliczania wyznaczników są
metoda rozwini
ęć
Laplace’a
(pozwala sprowadzić wyznacznik stopnia
n
do sumy zawierającej
n
wyznaczników stopnia
n
-1, patrz tw.
Laplace’a) bądź
metoda diagonalizacji macierzy
(wówczas wyznacznik uzyskiwanej w ten sposób macierzy diagonalnej
jest iloczynem jej wartości własnych, patrz przekształcenie podobieństwa oraz diagonalizacja macierzy). Zakres
stosowania którejkolwiek z tych metod jest jednak ograniczony. Korzystając z tw. Laplace’a z rachunkowego punktu
widzenia istotny jest wybór wiersza lub kolumny, względem której wyznacznik jest rozwijany. Jeśli w wierszu tym
(kolumnie) jest wiele zer, suma będzie miała mniej składników. Natomiast metodę diagonalizacji macierzy moŜna
zastosować jedynie znając jej wartości własne bądź, gdy znalezienie ich jest stosunkowo łatwe.
Ze względu na wartość wyznacznika moŜna wyróŜnić ….
macierzosobliwą
det
A
=
0
wyznacznik macierzy jest
równy zeru
wówczas nie istnieje macierz odwrotna do
A
macierz
nieosobliwą
det
A
¹
0
wyznacznik macierzy jest
róŜny od zera
wówczas macierz
A
jest odwracalna (istnieje
macierz do niej odwrotna)
Własnościwyznaczników
1.
det
2.
Wyznacznik macierzy
A
diagonalnej (wszystkie elementy poza główną przekątną są równe zero) jest równy
iloczynowi elementów na głównej przekątnej
A
=
det
A
T
…
3.
Wyznacznik macierzy
A
dolno-/górnotrójkątnej jest równy iloczynowi elementów na głównej przekątnej
det
A a a a
= × × × ×
11
22
33
a
nn
…
4.
Jeśli macierz zawiera wiersz lub kolumnę złoŜoną z samych zer to jej wyznacznik jest równy zero.
5.
Jeśli wyznacznik posiada dwa identyczne wiersze [kolumny] lub o elementach proporcjonalnych to jest równy
zero.
6.
Jeśli jakiś wiersz [kolumna] jest kombinacją liniową innych wierszy [kolumn], to wyznacznik jest równy zero.
7.
Zamiana miejscami dwóch wierszy [kolumn] zmienia znak wyznacznika na przeciwny.
8.
Wspólny czynnik wyrazów jednego wiersza [kolumny] moŜna wyłączyć przed wyznacznik.
9.
Dla dowolnych macierzy kwadratowych
A
,
B
zachodzi
det
A a a a
= × × × ×
11
22
33
a
nn
det
( )
AB
=
det det
A
×
B
(T
W
.
Cauchy’ego)
4
Minormacierzy
Minorem macierzy
1
A a
=
ij
i
=
=
1,2,...,
1,2,...,
m
nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z
A
przez skreślenie
j
n
pewnej ilości jej wierszy lub kolumn, bądź i wierszy i kolumn.
Przykład
1 2 3 4 1
0 9 8 7 2
4 5 6 7 1
1 5 8 0 7
-
Minorami macierzy
A
=
-
są np.
-
minor powstały przez skreślenie 3 wiersza oraz 3 i 5 kolumny to
1 2 4
0 9 7 0 0 14
-
= + + - -
(
36 35 0 15
)
- - =
-
1 5 0
minor powstały przez skreślenie 4 wiersza oraz 4 i 5 kolumny to
1 2 3
0 9 8
-
= - + + -
54 0
(
64 108 40 0
)
-
- - = -
266
4 5
-
6
minor powstały przez skreślenie 2 wiersza oraz 4 i 5 kolumny to
1 2 3
4 5
-
- = + + -
6 40 60
(
12
)
(
- - - -
15
) (
30
) (
- -
64 197
)
=
-
1 5 8
Minorem głównym stopnia
k
– tego (
k
= 1,2,…,
n
) macierzy
A a
=
ij
, 1,2,...,
=
n
nazywamy minor powstały w wyniku
skreślenia wszystkich wierszy i kolumn o numerach większych od
k
Dla macierzy z poprzedniego przykładu będą to więc odpowiednio:
1 2 3 4
0 9 8 7
4 5 6 7
1 5 8 0
-
minor główny st. 4
M
4
=
-
-
1 2 3
0 9 8
4 5
-
minor główny st. 3
M
3
=
-
6
minor główny st. 2
M
=
1 2
-
=
9
2
0 9
minor główny st. 1
M
1
1 1
= =
Tw.Laplace’a
Niech
A a
ij
, 1,2,...,
=
n
. Wówczas wyznacznik macierzy
A
moŜna obliczyć korzystając ze wzoru
∑
n
i k
+
∑
n
i k
det
A
=
( )
-
1
a
det
A
=
( )
1
a M
rozwini
ę
cie Laplace’a
względem
i
-tego wiersza
ik
ik
ik ik
k
=
1
k
=
1
gdzie
A
ik
to macierz powstała z
A
przez skreślenie
i
-tego wiersza oraz
k
-tej kolumny, wyznacznik det
A
ik
=
M
ik
(tj. minor
macierzy
A
powstały przez skreślenie
i
-tego wiersza oraz
k
-tej kolumny)
lub ze wzoru
∑
n
s j
+
∑
n
s j
det
A
=
( )
-
1
a
det
A
=
( )
1
a M
rozwini
ę
cie Laplace’a
względem
j
–tej kolumny
sj
sj
sj sj
s
=
1
s
=
1
Często
minorem
macierzy określa się macierz powstałą z danej przez skreślenie odpowiednich wierszy i/bądź kolumn a
nie jej wyznacznik.
5
i j
=
i j
+
-
+
-
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]