R Pr MAP1151 przyklady wektory losowe PWL lista5, EiT PWr, Rachunek Prawdopodobieństwa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rachunekprawdopodobie«stwaMAP1151
WydziałElektroniki,rokakad.2009/10,sem.letni
Wykładowca:drhab.A.Jurlewicz
Przykładydolisty5:Zmiennelosowedwuwymiarowe.Rozkładył¡czne,
brzegowe.Niezale»no±¢zmiennychlosowych.Współczynnikkorelacji.
Sumowanieniezale»nychzmiennychlosowych.Prawowielkichliczb.
Przykładydozadania
5.1
:
(a) Wektor losowy (
X,Y
) ma nast¦puj¡cy rozkład ł¡czny:
P
(
X
= 0
,Y
=
−
2) =
C
;
P
(
X
= 0
,Y
= 0) = 0;
P
(
X
= 0
,Y
= 1) = 0
,
2;
P
(
X
= 2
,Y
=
−
2) =
P
(
X
= 2
,Y
= 0) = 0
,
2;
P
(
X
= 2
,Y
= 1) = 0
,
3.
Wyznaczy¢ stał¡
C
oraz rozkłady brzegowe tego wektora losowego. Czy
X
i
Y
s¡ niezale»ne?
Stała
C
musi by¢ nieujemna oraz spełnia¢ warunek
C
+ 0 + 0
,
2 + 0
,
2 + 0
,
2 + 0
,
3 = 1, co
daje
C
= 0
,
1
Rozkład ł¡czny wektora losowego (
X,Y
) razem z rozkładami brzegowymi zmiennych lo-
sowych
X
i
Y
mo»emy poda¢ w postaci tabeli:
x
n
0
2 r
.
brzeg
.
y
k
Y
−
2
0
,
1 0
,
2
0
,
3
0
0 0
,
2
0
,
2
1
0
,
2 0
,
3
P
= 1
r
.
brzeg
.X
0
,
3 0
,
7
X
i
Y
nie s¡ niezale»ne, bo np.
P
(
X
= 0
,Y
= 0) = 0
6
= 0
,
3
·
0
,
2 =
P
(
X
= 0)
P
(
Y
= 0).
(b) Znale¹¢ rozkład ł¡czny wektora losowego (
X,Y
), gdzie
X
i
Y
s¡ niezale»nymi zmiennymi loso-
wymi o rozkładach
P
(
X
=
−
1) = 0
,
1;
P
(
X
= 3) = 0
,
9;
P
(
Y
= 0) = 0
,
45;
P
(
Y
= 2) = 0
,
55.
Zmienne losowe s¡ niezale»ne, zatem np.
P
(
X
=
−
1
,Y
= 0) =
P
(
X
=
−
1)
P
(
Y
= 0) = 0
,
1
·
0
,
45 = 0
,
045.
Podobnie obliczamy pozostałe prawdopodobie«stwa ł¡czne.
Rozkład ł¡czny wektora losowego (
X,Y
) razem z rozkładami brzegowymi zmiennych lo-
sowych
X
i
Y
podajemy w tabeli:
x
n
−
1
3
r
.
brzeg
.
y
k
Y
0
0
,
045 0
,
405
0
,
45
2
0
,
055 0
,
495
P
= 1
0
,
55
r
.
brzeg
.X
0
,
1
0
,
9
1
0
,
5
Przykładdozadania
5.2
:
(
C
(
x
2
y
+
y
) dla 0
< x <
1
,
0
< y <
2
0
(a) Dobra¢ stał¡
C
tak, aby funkcja
f
(
x,y
) =
poza tym
.
była
g¦sto±ci¡ pewnego wektora losowego (
X,Y
). Obliczy¢ nast¦pnie
P
((
X,Y
)
2
), gdzie to
obszar 0
¬
y
¬
2
,
0
¬
x
¬
y
. Wyznaczy¢ rozkłady brzegowe wektora losowego (
X,Y
).
Czy
X
i
Y
s¡ niezale»ne?
f
(
x,y
)
0 dla ka»dego (
x,y
) wtedy i tylko wtedy, gdy
C
0
(bo dla 0
< x <
1
,
0
< y <
2 mamy
x
2
y
+
y >
0).
R
R
−1
f
(
x,y
)
dxdy
=
C
R
dx
R
(
x
2
y
+
y
)
dy
=
3
C
= 1 wtedy
i tylko wtedy, gdy
C
=
8
−1
0
0
8
.
Oba warunki na g¦sto±¢ s¡ spełnione, gdy
C
=
8
.
2.5
K
ÇD
2
2
D
1.5
1
y=x
0.5
0
K
1
−0.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Oznaczmy przez
K
prostok¡t 0
< x <
1
,
0
< y <
2.
R R
0
dx
R
x
(
x
2
+ 1)
ydy
=
f
(
x,y
)
dxdy
=
3
8
(
x
2
y
+
y
)
dxdy
=
3
8
\
K
R
1
8
(
3
−
10
+ 2
−
6
) = 0
,
9
Wyznaczamy rozkłady brzegowe:
3
8
0
(
x
2
+ 1)(2
−
x
2
/
2)
dx
=
3
8
<
R
R
−1
f
(
x,y
)
dy
=
8
(
x
2
+ 1)
ydy
=
4
(
x
2
+ 1) dla 0
< x <
1
,
f
X
(
x
) =
0
:
0
dla pozostalych
x.
8
<
2
y
dla 0
< y <
2
,
0 dla pozostalych
y.
Poniewa» dla ka»dego (
x,y
) mamy
f
X
(
x
)
f
Y
(
y
) =
f
(
x,y
),
zmienne losowe
X
i
Y
s¡ niezale»ne.
R
−1
f
(
x,y
)
dx
=
8
y
R
(
x
2
+ 1)
dx
=
1
f
Y
(
y
) =
:
0
2
3
3
P
((
X,Y
)
2
) =
RR
R
1
=
3
3
3
(
C
dla (
x,y
)
2
K
0 poza tym
,
(b) Dobra¢ stał¡
C
tak, aby funkcja
f
(
x,y
) =
gdzie
K
to obszar ograniczony
krzywymi
y
= 1
−
x
2
,
y
= 0, była g¦sto±ci¡ pewnego wektora losowego (
X,Y
). Obliczy¢
nast¦pnie
P
(0
< X <
0
,
5; 0
< Y <
1). Wyznaczy¢ rozkłady brzegowe wektora losowego (
X,Y
).
Czy
X
i
Y
s¡ niezale»ne?
K
:
−
1
¬
x
¬
1
,
0
¬
y
¬
1
−
x
2
.
f
(
x,y
)
0 dla ka»dego (
x,y
) wtedy i tylko wtedy, gdy
C
0
R
R
−1
f
(
x,y
)
dxdy
=
C
R
dx
1
−
x
2
dy
=
C
3
C
= 1 wtedy
i tylko wtedy, gdy
C
=
R
(1
−
x
2
)
dx
=
4
−1
−
1
0
−
1
4
.
Oba warunki na g¦sto±¢ s¡ spełnione, gdy
C
=
4
.
1.5
1
y=1−x
2
1
D
x=−(1−y)
1/2
x=(1−y)
1/2
0.5
K
ÇD
K
0
−1
0
0,5
1
−0.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
P
(0
< X <
0
,
5; 0
< Y <
1) =
R
0
,
0
dx
R
0
f
(
x,y
)
dy
=
3
4
R R
dxdy
=
3
4
R
0
,
0
dx
R
1
−
x
2
0
dy
=
\
K
=
R
0
,
0
(1
−
x
2
)
dx
=
32
= 0
,
34375
Wyznaczamy rozkłady brzegowe:
11
8
<
1
−
x
2
R
−1
f
(
x,y
)
dy
=
3
4
dy
=
4
(1
−
x
2
) dla
−
1
¬
x
¬
1
,
f
X
(
x
) =
:
0
0
dla pozostalych
x.
K
: 0
¬
y
¬
1
,
−
p
1
−
y
¬
x
¬
p
1
−
y
.
8
<
p
1
−
y
R
−
p
1
−
y
p
1
−
y
dla 0
¬
y
¬
1
,
R
−1
f
(
x,y
)
dx
=
3
4
dx
=
3
2
f
Y
(
y
) =
:
0 dla pozostalych
y.
Poniewa» dla wszystkich (
x,y
)
2
(
−
1
,
1)
×
(0
,
1) mamy
f
X
(
x
)
f
Y
(
y
)
6
= 0 w przeciwie«stwie
do
f
(
x,y
), zmienne losowe
X
i
Y
nie s¡ niezale»ne.
3
R
3
3
−1.5
: 0
< x <
0
,
5; 0
< y <
1
R
3
Przykładydozadania
5.3
:
Wyznaczy¢ wektor warto±ci oczekiwanych oraz macierz kowariancji wektora losowego (
X,Y
) o po-
danym rozkładzie. Obliczy¢ współczynnik korelacji zmiennych losowych
X
i
Y
, które s¡ składowymi
tego wektora.
(a) Rozkład dyskretny podany w tabeli
x
n
0
2 r
.
brzeg
.
y
k
Y
−
2
0
,
1 0
,
2
0
,
3
0
0 0
,
2
0
,
2
1
0
,
2 0
,
3
P
= 1
0
,
5
r
.
brzeg
.X
0
,
3 0
,
7
E
X
= 0
·
0
,
3 + 2
·
0
,
7 = 1
,
4;
D
2
X
= 0
2
·
0
,
3 + 2
2
·
0
,
7
−
(1
,
4)
2
= 0
,
84;
E
Y
=
−
2
·
0
,
3 + 0
·
0
,
2 + 1
·
0
,
5 =
−
0
,
1;
D
2
Y
= (
−
2)
2
·
0
,
3 + 0
2
·
0
,
2 + 1
2
·
0
,
5
−
(
−
0
,
1)
2
= 1
,
69;
E
XY
= 0
·
(
−
2)
·
0
,
1 + 0
·
0
·
0 + 0
·
1
·
0
,
2 + 2
·
(
−
2)
·
0
,
2 + 2
·
0
·
0
,
2 + 2
·
1
·
0
,
3 =
−
0
,
2;
Cov(
X,Y
) = E
XY
−
E
X
E
Y
=
−
0
,
2
−
1
,
4
·
(
−
0
,
1) =
−
0
,
06
XY
=
p
D
2
Y
=
−
0
,
06
"
#
"
#
D
2
X
Cov(
X,Y
)
Cov(
X,Y
)
0
,
84
−
0
,
06
−
0
,
06 1
,
69
macierz kowariancji to
D
2
Y
=
;
1
,
3
p
0
,
84
−
0
,
05
(b) Rozkład dyskretny podany w tabeli
x
n
−
1
3
r
.
brzeg
.
y
k
Y
0
0
,
045 0
,
405
0
,
45
2
0
,
055 0
,
495
P
= 1
0
,
55
r
.
brzeg
.X
0
,
1
0
,
9
E
X
=
−
1
·
0
,
1 + 3
·
0
,
9 = 2
,
6;
D
2
X
= (
−
1)
2
·
0
,
1 + 3
2
·
0
,
9
−
(2
,
6)
2
= 1
,
44;
E
Y
= 1
,
1; D
2
Y
= 0
,
99;
Cov(
X,Y
) = 0;
XY
= 0, bo zmienne s¡ niezale»ne.
"
#
1
,
44 0
0 0
,
99
Odp.(E
X,
E
Y
) = (2
,
6; 1
,
1); macierz kowariancji to
;
XY
= 0
4
Cov(
X
,Y
)
p
1
,
3
p
0
,
84
−
0
,
05.
Odp.(E
X,
E
Y
) = (1
,
4;
−
0
,
1);
D
2
X
XY
=
−
0
,
06
(
3
8
(
x
2
y
+
y
) dla 0
< x <
1
,
0
< y <
2
0
(c) Rozkład ci¡gły o g¦sto±ci
f
(
x,y
) =
poza tym
.
E
X
=
R
R
−1
xf
(
x,y
)
dxdy
=
3
8
R
dx
R
x
(
x
2
+ 1)
ydy
=
16
;
−1
0
0
R
R
−1
x
2
f
(
x,y
)
dxdy
−
(E
X
)
2
=
R
R
D
2
X
=
3
8
dx
x
2
(
x
2
+ 1)
ydy
−
(
16
)
2
=
1280
;
−1
0
0
E
Y
=
R
R
−1
yf
(
x,y
)
dxdy
=
3
8
R
dx
R
y
(
x
2
+ 1)
ydy
=
3
;
−1
0
0
R
R
−1
y
2
f
(
x,y
)
dxdy
−
(E
Y
)
2
=
R
R
D
2
Y
=
3
8
dx
y
2
(
x
2
+ 1)
ydy
−
(
3
)
2
=
9
;
−1
0
0
Cov(
X,Y
) = 0;
XY
= 0, bo zmienne s¡ niezale»ne.
"
107
#
1280
0
0
Odp.(E
X,
E
Y
) = (
16
;
3
); macierz kowariancji to
;
XY
= 0
2
9
(d) Rozkład ci¡gły o g¦sto±ci
f
(
x,y
) =
(
3
4
dla (
x,y
)
2
K
0 poza tym
,
gdzie
K
to obszar ograniczony krzy-
wymi
y
= 1
−
x
2
,
y
= 0
E
X
=
R
R
−1
xf
(
x,y
)
dxdy
=
3
4
R
−
1
dx
1
−
x
2
R
xdy
= 0;
−1
0
D
2
X
=
R
R
−1
x
2
f
(
x,y
)
dxdy
−
(E
X
)
2
=
3
4
R
dx
1
−
x
2
R
x
2
dy
−
0 = 0
,
2;
−1
−
1
0
E
Y
=
R
R
−1
yf
(
x,y
)
dxdy
=
3
4
R
dx
1
−
x
2
R
ydy
= 0
,
4;
−1
−
1
0
D
2
Y
=
R
R
−1
y
2
f
(
x,y
)
dxdy
−
(E
Y
)
2
=
3
4
R
−
1
dx
1
−
x
2
R
y
2
dy
−
(0
,
4)
2
=
175
;
−1
0
Cov(
X,Y
) =
R
R
−1
xyf
(
x,y
)
dxdy
−
E
X
E
Y
=
3
4
R
dx
1
−
x
2
R
xydy
−
0 = 0; st¡d
XY
= 0.
−1
−
1
0
"
#
0
,
2 0
0
Odp.(E
X,
E
Y
) = (0; 0
,
4); macierz kowariancji to
12
175
;
XY
= 0
, a
Y
rozkład
normalny
N
(
−
1
,
2). Znale¹¢ warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ zmiennej losowej
Z
= 2
X
−
3
Y
−
2.
X
ma rozkład wykładniczy
E
xp
=
1
5
, zatem E
X
=
= 5 i D
2
X
=
2
= 25.
Y
rozkład normalny
N
(
−
1
,
2), zatem E
Y
=
−
1 i D
2
Y
= 2
2
= 4.
E
Z
= 2E
X
−
3E
Y
−
2 = 2
·
5
−
3
·
(
−
1)
−
2 = 11.
X
i
Y
s¡ niezale»ne, wi¦c D
2
Z
= D
2
(2
X
−
3
Y
−
2) = D
2
(2
X
−
3
Y
) =
= D
2
(2
X
) + D
2
(
−
3
Y
) = 2
2
D
2
X
+ (
−
3)
2
D
2
Y
= 4
·
25 + 9
·
4 = 136.
5
9
107
4
2
12
Przykładydozadania
5.4
:
(a) Zmienne losowe
X
i
Y
s¡ niezale»ne, przy czym
X
ma rozkład wykładniczy
E
xp
5
1
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]