Rachunek niepewnosci pomiarowych, Energetyka Politechnika Krakowska Wydział Mechaniczny I stopień, ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rachunekniepewno±cipomiarowych
*
(Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki)
Politechnika Koszali«ska pa¹dziernik 2010
Spistre±ci
1. Poj¦cia podstawowe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Bł¦dy pomiarowe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1. Bł¦dy systematyczne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Bł¦dy przypadkowe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3. Bł¡d gruby
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3. Opracowywanie wyników pomiarów obarczonych bł¦dem systematycznym
. . . . . . . . . . 4
3.1. Pomiary bezpo±rednie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2. Pomiary po±rednie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4. Opracowywanie wyników pomiarów obarczonych bł¦dem przypadkowym
. . . . . . . . . . . 6
4.1. Pomiary bezpo±rednie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2. Pomiary po±rednie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5. wiczenia z rachunku niepewno±ci pomiarowych
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.1. Rozkłady statystyczne, odchylenie standardowe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2. Przenoszenie niepewno±ci
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.3. Regresja liniowa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Niniejsze opracowanie nie obejmuje nowej metodyki opracowywania niepewno±ci pomiarowych.
B¦dzie ona wprowadzona w pó¹niejszym okresie i zamieszczona w materiałach internetowych. Zostanie
te» uwzgl¦dniona w niektórych ¢wiczeniach realizowanych w drugiej cz¦±ci zaj¦¢ na pracowni.
Opracowywanie wyników pomiarów z uwzgl¦dnieniem nowej metodyki jest du»o bardziej zło»one.
Ze wzgl¦dów dydaktycznych wydaje si¦ wskazane by pocz¡tkowe ¢wiczenia cechowały si¦ mo»liwie
du»¡ prostot¡. wiczenia wykonywane w pracowni maj¡ charakter dydaktyczny, słu»¡ poznaniu i opa-
nowaniu szeregu nowych umiej¦tno±ci. Zło»ono±¢ wykonywanej przez studentów pracy winna by¢ stop-
niowana. Te wzgl¦dy uzasadniaj¡ pozostawienie starej metodyki rachunku niepewno±ci pomiarowych
jako metody prostszej i wystarczaj¡cej dydaktycznie w pierwszej cz¦±ci zaj¦¢.
1.Poj¦ciapodstawowe
Wielo±¢ fizyczna
– ka»da mierzalna własno±¢ ciała lub zjawiska np. masa, pr¦dko±¢, temperatura,
czas. Oznacza to, »e mo»emy te własno±ci okre±li¢ liczbowo jako wielokrotno±¢ pewnej przyj¦tej
jednostki
danej wielko±ci.
Prawa przyrody
– (tu: prawa fizyczne) mi¦dzy niektórymi wielko±ciami fizycznymi wyst¦puj¡ za-
le»no±ci, które mo»na przedstawi¢ przy pomocy matematyki. Te najbardziej ogólne s¡
prawami
fizycznymi
(np. prawo zachowania p¦du, energii itd.), inne stanowi¡
zwi¡zki definicyjne
(np.
*
OpracowanieJanMazur,w.05.11.2010.
2
prawo Ohma mówi o liniowej zale»no±ci mi¦dzy nat¦»eniem pr¡du a spadkiem napi¦cia, jedno-
cze±nie pozwala zdefiniowa¢ now¡ wielko±¢ fizyczn¡ –
opór elektryczny
, która charakteryzuje
o±rodek przewodz¡cy pr¡d elektryczny).
Podstawowe wielko±ci fizyczne
– spo±ród wszystkich wielko±ci fizycznych mo»na wydzieli¢ pewn¡
niewielk¡ ilo±¢ wielko±ci podstawowych (na ró»ne sposoby) wystarczaj¡cych do okre±lenia przy
pomocy równa« matematycznych wszystkich pozostałych wielko±ci. Taki zestaw wielko±ci stanowi
układ jednostek
. Przykładem jest obowi¡zuj¡cy układ jednostek SI, który zast¡pił kilka jedno-
cze±nie stosowanych dawniej systemów jednostek fizycznych.
Pomiar
– okre±lenie liczbowej warto±ci danej wielko±ci fizycznej i przedstawienie jej w postaci liczby
i jednostki miary danej wielko±ci. Wykonuj¡c pomiary posługujemy si¦ przyrz¡dami pomiarowymi.
Rozró»niamy dwa rodzaje pomiarów –
pomiary bezpo±rednie
i
pomiary po±rednie
.
Pomiary bezpo±rednie
– s¡ to najprostsze pomiary w tym sensie, »e do pomiaru danej wielko±ci
mamy przyrz¡d pomiarowy. Pomiar polega na przygotowaniu przyrz¡du (mo»e to by¢ bardzo pro-
ste, np. w przypadku zwykłej linijki, lub do±¢ zło»one w przypadku zaawansowanego przyrz¡du
wymagaj¡cego np. wzorcowania, zerowania, stabilizacji temperatury itd.), uruchomienia pomiaru
i odczytania wyniku.
Pomiary po±rednie
– musimy wykona¢ jednoczesny pomiar kilku wielko±ci (ka»d¡ oddzielnym przy-
rz¡dem) i nast¦pnie obliczy¢ warto±¢ danej wielko±ci fizycznej z odpowiedniego wzoru, np. pomiar
oporu elektrycznego przy pomocy amperomierza i woltomierza korzystaj¡c z prawa Ohma.
Niepewno±¢ pomiaru
(albo inaczej
dokładno±¢ pomiaru
) – pomiary mog¡ by¢ wykonywane jedy-
nie ze sko«czon¡ dokładno±ci¡ gdy» przyrz¡dy pomiarowe nie s¡ doskonałe, podobnie nasze zmysły
je±li bior¡ udział w pomiarze.
W przypadku pomiarów z jakimi mamy do czynienia w »yciu codziennym (np. odczyt wskaza«
pr¦dko±ciomierza w samochodzie, wagi sklepowej, zegara itd.) problem dokładno±ci pomiaru w za-
sadzie nie wyst¦puje (gdy» one s¡ na tyle dokładne by±my nie musieli si¦ tym przejmowa¢).
Jednak»e w fizyce, która bada rzeczywisto±¢ poprzez eksperyment (czyli pomiary) i jego anali-
z¦ i uogólnienie, wa»ne jest okre±lenie jaka jest precyzja pomiaru, czyli jego dokładno±¢. Jest to
istotne i w innych naukach przyrodniczych oraz w technice. Miar¡ tej precyzji jest wielko±¢, któr¡
nazywamy
niepewno±ci¡ pomiaru
(dawniej
bł¡d pomiaru
).
By zdefiniowa¢
niepewno±¢ pomiaru
musimy wprowadzi¢ dwa poj¦cia:
wynik pomiaru
x
– czyli odczyt z przyrz¡du pomiarowego oraz
warto±¢ rzeczywist¡
x
0
wielko±ci mierzonej
czyli co? Warto±ci rzeczywistej nie znamy i nie
mo»emy jej zna¢, nie wiadomo jak mogliby±my j¡ uzyska¢ skoro przyrz¡dy pomiarowe maj¡ ograni-
czon¡ dokładno±¢. Mo»emy jednak przyj¡¢ przybli»enie warto±ci rzeczywistej jako wynik pomiaru
przyrz¡dem du»o dokładniejszym, którym jednak nie dysponujemy, zatem warto±ci rzeczywistej
nadal nie mamy.
Rzeczywisty bł¡d bezwzgl¦dny
definiujemy jako ró»nic¦ mi¦dzy tymi dwiema wielko±ciami:
x
=
x
−
x
0
,
dlaczego okre±lenie bezwzgl¦dny? Bo jest w tej samej jednostce co mierzona wielko±¢ (patrz te»
dalej
niepewno±¢ wzgl¦dna
lub
bł¡d wzgl¦dny
).
Rzeczywisty bł¡d wzgl¦dny
definiujemy jako stosunek bł¦du bezwzgl¦dnego i warto±ci rzeczywi-
stej:
x
=
x
x
.
Rzeczywisty bł¡d wzgl¦dny procentowy
uzyskujemy mno»¡c bł¡d
wzgl¦dny przez 100%.
Rachunek niepewno±ci pomiarowych
– rzeczywistego bł¦du bezwzgl¦dnego nie jeste±my w stanie
wyznaczy¢ gdy» nie znamy warto±ci rzeczywistej. Mo»emy jednak okre±li¢ jego przybli»on¡ war-
to±¢
x
, któr¡ nazywamy
niepewno±ci¡ pomiaru
lub
bł¦dem pomiaru
. Pozwala ona okre±li¢
przedział (
x
−
x, x
+
x
), w jakim z okre±lonym prawdopodobie«stwem powinna zawiera¢ si¦
3
warto±¢ rzeczywista. Tym jak tego dokona¢ zajmuje si¦
teoria niepewno±ci pomiaru
zwana te»
rachunkiem niepewno±ci pomiaru
(dawniej
rachunkiem bł¦dów
).
Zapis wyniku pomiaru
– maj¡c wynik pomiaru
x
wielko±ci fizycznej
X
i wyznaczon¡ niepewno±¢
pomiaru
x
warto±¢ liczbow¡ wyniku zapisujemy w postaci
X
= (
x
±
x
) jednostka,
gdzie
x
musi by¢ zaokr¡glone do 2 lub 1 cyfry znacz¡cej w gór¦, a
x
zaokr¡glone według zwykłych
zasad do miejsca dziesi¦tnego, na którym znajduje si¦ ostatnia cyfra niepewno±ci pomiarowej
x
.
2.Bł¦dypomiarowe
W praktyce pomiarowej wyró»niamy 3 rodzaje bł¦dów pomiarowych:
1. bł¦dy systematyczne,
2. bł¦dy przypadkowe,
3. bł¦dy grube.
2.1. Bł¦dy systematyczne
Wpływaj¡ zawsze w ten sam sposób na wyniki pomiarów wykonywanych t¡ sam¡ metod¡ i tymi
samymi przyrz¡dami. Zmiana warunków, w których wykonywane s¡ pomiary powoduje okre±lon¡
zmian¦ warto±ci bł¦du. Bł¡d systematyczny mo»e zale»e¢ od wielu czynników:
1. przyrz¡d pomiarowy, jego ograniczona dokładno±¢ (np. linijka 1 mm, najwy»ej 0,5 mm), zu»ycie
si¦ przyrz¡du;
2. metoda pomiaru oparta na przybli»onych wzorach, np. wyznaczanie przy±pieszenia ziemskiego na
podstawie okresu waha« wahadła matematycznego. Znany ze szkoły wzór jest wzorem przybli»o-
nym stosunkowo dokładnym dla małych wychyle« (poni»ej 5
);
3. eksperymentator popełniaj¡c jaki± stały regularny bł¡d, np. bł¡d paralaksy (jest to bł¡d przy
odczycie wskaza« miernika wskazówkowego popełniany wtedy gdy nie patrzymy na wskazówk¦
prostopadle do skali miernika lecz pod pewnym k¡tem, poniewa» wskazówka jest nieco nad skal¡
miernika widzimy j¡ w innym poło»eniu wzgl¦dem skali).
2.2. Bł¦dy przypadkowe
Je±li powtarzaj¡c dany pomiar wielokrotnie (przestrzegaj¡c by warunki były takie same dla wszyst-
kich pomiarów) uzyskamy zró»nicowane wyniki to znaczy, »e s¡ one obarczone bł¦dami przypadkowymi.
Warunkiem wyst¡pienia bł¦dów przypadkowych jest odpowiednio mała warto±¢ bł¦du systematyczne-
go. Głównymi przyczynami wyst¦powania bł¦dów przypadkowych s¡:
1. statystyczny charakter mierzonej wielko±ci, je±li mierzymy ±rednic¦ drutu to w ró»nych miejscach
jest ona inna. Mierz¡c j¡ odpowiednio dokładnym przyrz¡dem otrzymamy zró»nicowane warto±ci;
2. wła±ciwo±ci przyrz¡du pomiarowego – zmienny wpływ tarcia, oporu powietrza, zmian parametrów
materiałowych, warunków atmosferycznych itd;
3. wykonuj¡cy pomiary je±li jest elementem układu pomiarowego, np. przy pomiarze czasu stoperem
odgrywa rol¦ czas reakcji eksperymentatora i jej zmienno±¢ w czasie.
Nie mo»na wyeliminowa¢ bł¦dów przypadkowych. Poniewa» jednak podlegaj¡ one okre±lonym prawi-
dłowo±ciom statystycznym mo»na przy pomocy metod statystycznych oszacowa¢ ich warto±¢.
2.3. Bł¡d gruby
Jest to bł¡d spowodowany bł¦dem eksperymentatora powoduj¡cy, »e otrzymany wynik ró»ni si¦ w
sposób widoczny od innych. Mo»e by¢ spowodowany bł¦dnym odczytaniem wyniku, bł¦dem w obli-
czeniach, bł¦dnym wykonaniem pomiaru. Wyniki obarczone bł¦dem grubym odrzucamy.
4
3.Opracowywaniewynikówpomiarówobarczonychbł¦demsystematycznym
Rozpatrujemy przypadek kiedy bł¡d systematyczny jest wi¦kszy od bł¦du przypadkowego. W prak-
tyce oznacza to, »e powtarzaj¡c pomiar otrzymujemy za ka»dym razem ten sam rezultat. Zatem planu-
j¡c pomiary przyjmujemy, »e b¦dziemy wykonywali pomiary jednokrotne. Oczywi±cie mog¡ wyst¡pi¢
sytuacje kiedy pomiar powtórzymy, np. w celach kontrolnych.
Pojawiaj¡ si¦ tu dwie kwestie. Pierwsza – jak okre±li¢ niepewno±¢ pomiaru danym przyrz¡dem
pomiarowym, czyli zagadnienie pomiaru bezpo±redniego. Druga – jak okre±li¢ niepewno±¢ pomiaru
wielko±ci wyznaczanej ze wzoru, do którego podstawiamy kilka wielko±ci zmierzonych bezpo±rednio,
czyli zagadnienie pomiarów po±rednich.
3.1. Pomiary bezpo±rednie
Przyrz¡dy pomiarowe mo»emy podzieli¢ na dwie klasy:
1. mierniki wskazówkowe – posiadaj¡ one wyskalowan¡ podziałk¦ i wskazówk¦, której poło»enie nale»y
odczyta¢, przykłady - zegarek analogowy, szybko±ciomierz w samochodzie, wskazówkowe mierniki
elektryczne.
Innym przykładem jest zwykła linijka milimetrowa. Nie posiada ona oczywi±cie wskazówki, ale
je»eli mierzymy długo±¢ jakiego± przedmiotu to rol¦ wskazówki pełni kraw¦d¹ tego przedmiotu
i poło»enie tej kraw¦dzi odczytujemy.
Najmniejsza działka na linijce milimetrowej to 1 mm i dokładno±¢ odczytu poło»enia mo»emy
odnosi¢ do tej warto±ci, je±li potrafimy wzrokowo podzieli¢ j¡ na pół to mo»emy przyj¡¢, »e nie-
pewno±¢ pomiaru wynosi
x
=
±
0
,
5 mm. Je±li linijka jest długa i niezbyt precyzyjnie wykonana
przyjmiemy 1 mm.
Je±li by±my mieli do czynienia z ta±m¡ miernicz¡, np. o długo±ci 5 m i mierzyliby±my długo±¢ sali
maj¡cej około 4 m, to mimo »e ma ona ona podziałk¦ co 1 mm, takiej niepewno±ci nie mogliby±my
przyj¡¢ (ta±ma si¦ rozci¡ga, nie wiemy jak, nie wiemy te» z jak¡ precyzj¡ nadrukowano podziałk¦).
Winni±my zatem niepewno±¢ pomiaru odpowiednio oszacowa¢ uwzgl¦dniaj¡c wszystkie znane nam
czynniki zwi¦kszaj¡ce niedokładno±¢. Czyli okre±li¢ maksymaln¡ mo»liw¡ warto±¢ niepewno±ci (bł¦-
du) pomiaru, czyli tzw.
bł¡d maksymalny
;
2. mierniki cyfrowe – przedstawiaj¡ na wy±wietlaczu wynik pomiaru w postaci kilkucyfrowej liczby.
Liczba tych cyfr okre±la minimaln¡ warto±¢ niepewno±ci pomiarowej – jest to jednostka na ostat-
niej pozycji dziesi¦tnej, wynika to z wła±ciwo±ci zapisu liczbowego w postaci liczby dziesi¦tnej.
Faktycznie popełniany bł¡d pomiaru mo»e by¢ wi¦kszy (zwykle tak jest). Producent podaje wzór
do wyznaczenia tego bł¦du. Zwykle jest on okre±lony przez pewien procent odczytu i pewn¡ ilo±¢
jednostek na ostatniej pozycji dziesi¦tnej, uwzgl¦dnia wszystkie mo»liwe ¹ródła bł¦du. Zatem jest
te»
bł¦dem maksymalnym
.
Zatem w przypadku pomiarów bezpo±rednich wyznaczamy tzw.
bł¡d maksymalny
. Zasady post¦-
powania s¡ nast¦puj¡ce:
1. proste przyrz¡dy wskazówkowe – przyjmujemy
bł¡d maksymalny
równy połowie najmniejszej
działki, chyba »e s¡ powody by odpowiednio zwi¦kszy¢ t¦ warto±¢. Musimy sami to oceni¢;
2. wskazówkowe mierniki elektryczne – mo»emy stosowa¢ sposób powy»ej, jednak»e te bardziej pre-
cyzyjne maj¡ okre±lon¡ tzw.
klas¦ miernika
, która pozwala nam wyznaczy¢
bł¡d maksymalny
pomiaru. Jest ona zdefiniowana wzorem:
klasa miernika =
x
zakres pomiaru
·
100,
gdzie
x
jest bł¦dem maksymalnym. Zatem wykonuj¡c pomiary elektrycznymi miernikami wska-
zówkowymi nale»y odnotowa¢
klas¦ miernika
i
zakresy pomiarowe
wykonywanych pomiarów
co pozwoli nast¦pnie na obliczenie
bł¦du maksymalnego
na danym zakresie.
Producenci tych przyrz¡dów najcz¦±ciej opracowuj¡ podziałk¦ skali tak by była ona zgodna z zasad¡
połowy najmniejszej działki, tzn. bł¡d obliczony wg zasady połowy najmniejszej działki powinien
5
si¦ zgadza¢ z bł¦dem obliczonym z klasy miernika.
Gdzie znale¹¢ klas¦ miernika
? Jest ona podana na skali miernika po lewej stronie na dole na
ko«cu ci¡gu symboli, ostatni jest liczb¡ – to jest klasa miernika;
3. mierniki cyfrowe – formuł¦ wyznaczania
bł¦du maksymalnego
podaje producent w dokumentacji.
Na pracowni jest to podane w instrukcji do ¢wiczenia na ostatniej stronie.
3.2. Pomiary po±rednie
I
,
mamy wyniki pomiarów
U
=
u
±
u
oraz
I
=
i
±
i
, gdzie
u
,
i
,
i
,
i
s¡ odpowiednimi warto±ciami
liczbowymi. Podstawiamy do wzoru warto±ci
u
oraz
i
i otrzymujemy warto±¢ wielko±ci
R
równ¡
r
.
Jak okre±li¢ niepewno±¢ maksymaln¡
r
?
Mamy do dyspozycji dwie metody:
1. metoda ró»niczki logarytmicznej, gdy wzór ma posta¢ iloczynowopot¦gow¡ (tak jest w tym
przykładzie);
2. metoda ró»niczki zupełnej – metoda ogólna.
Poni»ej przedstawione zostało zastosowanie obu metod do naszego przykładu.
Ad. 1. Metoda ró»niczki logarytmicznej.
Jest to najprostsza metoda, je±li tylko mo»na j¡ zasto-
sowa¢ (w naszym przypadku mo»emy):
Pierwszy krok:
logarytmujemy obustronnie nasze równanie:
ln
R
= ln
U
−
ln
I
.
I
.
Trzeci krok:
zast¦pujemy ró»niczki (czyli niesko«czenie małe zmiany)
dR
,
dU
,
dI
zmianami sko«-
czonymi, czyli bł¦dami maksymalnymi
R
,
U
,
I
oraz przyjmujemy, »e znaki bł¦dów s¡ takie,
»e one si¦ sumuj¡ a nie wygaszaj¡, czyli we wzorze powy»ej zast¦pujemy znak minus znakiem
plus. Otrzymujemy w ten sposób przybli»ony wzór na
r
(bł¡d przybli»enia jest niewielki gdy»
bł¦dy maksymalne s¡ małe w stosunku do wielko±ci mierzonych):
R
R
R
=
dU
U
−
dI
I
.
Czwarty krok:
mno»ymy obie strony przez
R
i otrzymujemy wzór na bł¡d maksymalny
R
:
=
U
U
+
I
R
=
R
U
U
+
I
I
.
Ad. 2. Metoda ró»niczki zupełnej.
W tej metodzie korzystamy z tego, »e wielko±¢ wyznaczana
jest funkcj¡ wielu zmiennych, w naszym przypadku dwu
R
=
f
(
U, I
). Dla funkcji wielu zmiennych
f
(
x
1
,x
2
,...,x
n
) ró»niczk¦ zupełn¡ wyznaczamy ze wzoru
df
(
x
1
,x
2
,...,x
n
) =
@f
(
x
1
,x
2
,...,x
n
)
@x
1
dx
1
+
@f
(
x
1
,x
2
,...,x
n
)
@x
2
dx
2
+
...
+
@f
(
x
1
,x
2
,...,x
n
)
@x
n
dx
n
.
Po prawej stronie mamy sum¦ iloczynów pochodnych cz¡stkowych wzgl¦dem odpowiednich zmien-
nych i ró»niczek tych zmiennych. Pochodne te nale»y obliczy¢ i wstawi¢ do wzoru na ró»niczk¦
zupełn¡. Dalej post¦pujemy podobnie jak w poprzedniej metodzie. Dla naszego przykładu wygl¡da
to nast¦puj¡co:
Prosty przykład
– wyznaczamy opór elektryczny metod¡ po±redni¡ ze wzoru Ohma
R
=
U
Drugi krok:
równanie ró»niczkujemy korzystaj¡c z definicji ró»niczki
df
(
x
) =
f
0
(
x
)
dx
i pochodnej logarytmu ln
0
(
x
) =
1
x
:
dR
[ Pobierz całość w formacie PDF ]