R Pr MAP1151 wyklad2 prawdop warunkowe, EiT PWr, Rachunek Prawdopodobieństwa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rachunekprawdopodobie«stwaMAP1151
WydziałElektroniki,rokakad.2009/10,sem.letni
Wykładowca:drhab.A.Jurlewicz
Wykład2:Prawdopodobie«stwowarunkowe.
Twierdzenieoprawdopodobie«stwiecałkowitym.
WzórBayesa.Niezale»no±¢zdarze«.
Definicja.
Prawdopodobie«stwowarunkowe
zdarzenia
A
podwarunkiem,
»ezaszłozdarzenie
B
,gdzie
A,B
2F
,
P
(
B
)
>
0,danejestwzorem
P
(
A
|
B
) =
P
(
A
\
B
)
P
(
B
)
.
Dla
B
takiego,»e
P
(
B
) = 0,mo»naprzyj¡¢
P
(
A
|
B
) = 0.
Przyustalonym
B
,
P
(
B
)
>
0,oznaczy¢mo»emy
P
(
A
|
B
) =
P
B
(
A
).
P
B
tonoweprawdo-
podobie«stwona(
,
F
),tzn.(
,
F
,P
B
)jestnow¡przestrzeni¡probabilistyczn¡.
P
(
A
)-prawdopodobie«stwaapriori(przedfaktem)
P
B
(
A
)-prawdopodobie«stwaaposteriori(pofakcie).
Własno±ciprawdopodobie«stwawarunkowego:
1.Je±li
A
B
,
A,B
2F
,
P
(
B
)
>
0,to
P
(
A
|
B
) =
P
(
A
)
P
(
B
)
.
2.Je±li
B
A
,
A,B
2F
,
P
(
B
)
>
0,to
P
(
A
|
B
) = 1.Wszczególno±ci,
P
(
B
|
B
) = 1.
3.Je±li
A
\
B
=
;
,
A,B
2F
,
P
(
B
)
>
0,to
P
(
A
|
B
) = 0.
4.Je±li
A,B
2F
,
P
(
B
) = 1,to
P
(
A
|
B
) =
P
(
A
).
1
Definicja.
Rozbiciemzbioru
nazywamyrodzin¦
{
B
n
,n
2
T
N
}
zdarze«losowychparami
rozł¡cznych(tzn.
B
i
\
B
j
=
;
dla
i
6
=
j
)tak¡,»e
S
n
2
T
B
n
= .
Twierdzenieoprawdopodobie«stwiecałkowitym:
Niech
{
B
n
,n
2
T
N
}
b¦dzierozbiciemzbiorutakim,»e
P
(
B
n
)
>
0dlaka»dego
n
.
Wtedydladowolnegozdarzenialosowego
A
mamy
P
(
A
) =
X
n
2
T
P
(
A
|
B
n
)
P
(
B
n
)
.
WzórBayesa:
Niech
{
B
n
,n
2
T
N
}
b¦dzierozbiciemzbiorutakim,»e
P
(
B
n
)
>
0dlaka»dego
n
.
Wtedydladowolnegozdarzenialosowego
A
takiego,»e
P
(
A
)
>
0,idlaka»dego
n
2
T
mamy
P
(
B
n
|
A
) =
P
(
A
|
B
n
)
P
(
B
n
)
P
(
A
)
.
P
(
A
)mo»emywyliczy¢ztw.oprawdopodobie«stwemcałkowitym.
Przykładydozad.1.4
2
Definicja.
Zdarzenia
A
i
B
zprzestrzeniprobabilistycznej(
,
F
,P
)nazywamyniezale»nymi,gdy
P
(
A
\
B
) =
P
(
A
)
P
(
B
)
.
Własno±cizdarze«niezale»nych.
1.Je±li
A
i
B
s¡niezale»nei
P
(
B
)
>
0,to
P
(
A
|
B
) =
P
(
A
).
2.Je±li
A
\
B
=
;
,
P
(
A
)
>
0,
P
(
B
)
>
0,to
A
i
B
nies¡niezale»ne.
3.Je±li
A
B
,
P
(
A
)
>
0,
P
(
B
)
<
1,to
A
i
B
nies¡niezale»ne.
4.Je±li
A
i
B
s¡niezale»ne,toniezale»nes¡tak»ezbiory
A
i
B
c
,
A
c
i
B
,
A
c
i
B
c
.
5.Je»eli
P
(
A
) = 1,tzn.
A
jestzdarzeniemprawiepewnym,to
A
idowolnezda-
rzenie
B
s¡niezale»ne.Wszczególno±ci,idowolnezdarzenie
B
s¡niezale»ne.
6.Je»eli
P
(
A
) = 0,to
A
idowolnezdarzenie
B
s¡niezale»ne.Wszczególno±ci,
;
i
dowolnezdarzenie
B
s¡niezale»ne.
Definicja.
Zdarzenia
A
,
B
i
C
zprzestrzeniprobabilistycznej(
,
F
,P
)nazywamyniezale»nymi
(wzajemnieniezale»nymi),gdy
P
(
A
\
B
\
C
) =
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
C
)
,
P
(
A
\
B
) =
P
(
A
)
P
(
B
)
,
P
(
A
\
C
) =
P
(
A
)
P
(
C
)
,
P
(
B
\
C
) =
P
(
B
)
P
(
C
)
.
Definicja.
Zdarzeniazrodziny
A
=
{
A
t
,t
2
T
}
zprzestrzeniprobabilistycznej(
,
F
,P
)nazywamy
niezale»nymi(wzajemnieniezale»nymi),gdydladowolnego
n
2
N
idladowolnych
ró»nych
t
1
,t
2
,...,t
n
2
T
zachodzi
P
(
A
t
1
\
A
t
2
\
...
\
A
t
n
) =
P
(
A
t
1
)
P
(
A
t
2
)
...P
(
A
t
n
)
.
A
torodzinazdarze«niezale»nych.
Uwaga.
Je»elidladowolnych
t
1
,t
2
2
T
zachodzi
P
(
A
t
1
\
A
t
2
) =
P
(
A
t
1
)
P
(
A
t
2
),tomówimy,»e
A
jestrodzin¡zdarze«paraminiezale»nych.
Przykładydozad.1.5
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]