rzepkoteka 1.3, Elektryczne, Elektrotechnika pk, METROLOGIA, Wykłady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rzepkoteka 2011 v1.3
1. Podstawy rachunku operatorowego. Definicje i sposoby liczenia: rotacji, dywergencji,
gradientu, laplasjanu skalarnego i wektorowego. Wymienić najważniejsze tożsamości
rachunku operatorowego.
Rotacja
- operacja różniczkowa, która w danemu polu wektorowemu przyporządkuje nowe pole
wektorowe. Służy do sprawdzania czy w danym polu wektorowym występują wiry pola.
∮
Edl
S
rotE
= lim
S
0
rot E
=×
E
=
∣
i
x
E
x
j
y
E
y
k
z
E
z
∣
Dywergencja
- operacje matematyczne na zadanym polu wektorowym, które przypisują temu polu
pewne pole skalarne. Służy do sprawdzenia, czy w danym fragmencie przestrzeni znajduje się
źródło pola.
∮
Edl
ΔV
div E
= lim
ΔS
0
div E
= ∇⋅
E
=
∂
E
x
∂
y
∂
E
y
∂
y
∂
E
z
∂
z
Gradient pola
- pewnemu polu skalarnemu przyporządkowuje pole wektorowe.
grad
x, y,z
= ∇
x ,y,z
=
∂
∂
x
i
∂
∂
y
j
∂
∂
z
k
Laplasjan skalarny
- operacja różniczkowa II rzędu, która danemu polu skalarnemu
przyporządkowuje nowe pole skalarne.
Δ
= ∇
2
=
∂
2
∂
x
2
i
∂
2
∂
y
2
j
∂
2
∂
z
2
k
(def.)
Laplasjan wektorowy
- operacja różniczkowa II rzędu, która danemu polu skalarnemu
przyporządkowuje nowe pole wektorowe.
Δ
∂
y
2
∂
2
∂
z
2
i
∂
2
∂
x
2
∂
2
∂
y
2
∂
2
∂
z
2
j
∂
2
∂
x
2
i
∂
2
∂
y
2
∂
2
∂
z
2
k
Podstawowe tożsamości
:
∇⋅ ∇×
A
= ∇ ∇
A
( rotacja rotacji)
∇⋅ ∇×
A
≡0
( dywengencja rotacji)
∇⋅∇⋅
f
−∇
2
f
=
Δ f
( dywengencja gradientu)
∇
2
× ∇
f
= 0
(rotacja gradientu)
S
Ed S
=
v
div Ed v
(Ostrogradskiego-Gaussa)
∮
l
Ed l
=
S
rot Ed S
(Stokes`a)
E
x ,y,z
=
∂
2
∂
x
2
∂
2
2. Pole elektrostatyczne. Prawo Coulomba. Definicja natężenia pola elektrycznego. Potencjał-
sposoby liczenia. Napięcie i związek z potencjałem. Prawo Gaussa, równanie Poissona i
Laplace'a. Potencjał, a natężenie pola.
Pole elektrostatyczne
- to przestrzeń wokół nieruchomych ładunków lub ciał naelektryzowanych, w
której na ładunki elektryczne działają siły. ( praca:
=
F
⋅
L
)
Prawo Coulomba
(1785):
q
1
⋅
q
2
F
12
=
∣
r
∣
3
r
[N]
r
- wektor wodzący
ε
0
= 8,85⋅10
−12
1
4
0
[
m
]
q
1
i q
2
- ładunki elektryczne
Natężenie pola elektromagnetycznego
:
E
x, y,z
=
F
q
0
x
0
, y
0,
z
0
q
0
[
m
]
q
0
0
ładunek próbny
q
0
0
ładunek dodatni
Potencjał
- miara pracy, potrzebna do przesunięcia ładunku q
0
od punktu P
0
do P.
p
= −
∞
P
Edl
p
=
4
0
⋅
q
1
r
r- odległość od ładunku q do P
Sposoby liczenia:
1
N
q
i
r
i
4
0
i
=1
a)
p
=
4
0
∫
r
dl
b)
p
=
1
ζ
r
dS
c)
Φ
p
=
4πε
0
S
d)
p
=
4
0
V
V
dV
r
Napięcie elektryczne
:
U
12
=
∫
1
2
Edl
[V]
U
12
=
1
−
2
(wartość napięcia nie zależy od drogi całkowania)
Prawo Gaussa
:
S
Ed S
=
∑
q
0
1
1
0
b) postać różniczkowa:
div E
=
V
0
∇⋅
E
=
V
0
c) Rozwiązanie równania Poissona:
V
T
x ,y,z
=
4
0
V
dV
e
Równanie Laplace`a
:
∇
2
=0
=0
Potencjał, a natężenie pola elektrycznego
:
E
= − ∇
d
= −
E
⋅
d l
3. Dielektryki. Dipol elektryczny, definicja wektora polaryzacji, wektor indukcji elektrycznej,
wartość i jednostka ε
0
, wartość ε
w
dla różnych materiałów.
Dielektryk
- materiał w którym występuje nikła koncentracja ładunków swobodnych, w wyniku
czego bardzo słabo jest przewodzony prąd.
Dielektryk idealny nie przewodzi prądu elektrycznego i ma strukturę składającą się z dipoli
elektrycznych.
Dipolem elektrycznym
nazywamy układ dwóch ładunków + q i - q mechanicznie ze sobą
związanych.
p
=
q
⋅
l
[C ∙ m] (moment elektryczny dipola)
Wektor polaryzacji
:
p
= lim
V
0
∑
p
i
V
Wektor indukcji elektrycznej
( jego wartość zależy od ładunków swobodnych)
D
=
0
w
E
D
=
0
E
p
0
=8,85⋅10
−12
[
m
]
próżnia
⇒1,0000
powietrze
⇒1,000532
woda
⇒78,3
Prawo Gaussa (dla dielektryka):
Q
Z
= −
S
Pd S
Q
Z
- ładunek związany
4. Pojemność elektryczna. Sposoby liczenia. Pojemności podstawowych układów. Energia w
kondesatorze.
Pojemność elektryczna
- to cecha geometryczna układu, która wyraża zdolność do gromadzenia
ładunków elektrycznych. Zależy tylko od wymiarów geometrycznych i parametrów dielektryka w
układzie.
Równanie Poissona
:
a)
Δ
=
V
1
C
=
Q
U
[
F
]
Sposób liczenia
:
a) z definicji:
U
=−
∫
Edl
E
- z prawa Gaussa
b) metodą zmiennych rozłożonych:
(dzielimy cały układ na połączone ze sobą elementarne kondensatory)
– polączenie szeregowe:
1
C
w
=
i
=1
n
1
C
i
1
w
=
∫
dC
– połączenie równoległe:
C
w
=
i
=1
n
C
i
C
w
=
∫
dC
Pojemność podstawowych kondensatorów
:
a) płaski:
C
=
0
w
S
d
C
=
2πε
0
ε
w
l
ln
b) walcowy
(
R
2
)
R
1
R
1
R
2
c) sferyczny
C
=4
0
w
R
1
R
2
Energia zgromadzona w kondensatorze
jest elementarną pracą dW potrzebną do przemieszczenia
elementarnego ładunku dq z jednej okładki na drugą. Energia ta jest równa energii pola
elektrycznego wytworzonego w kondensatorze.
dW
=
U
⋅
dq
=
q
C
dq
Q
Q
C
dq
=
Q
2
2C
=
1
=
∫
0
dW
=
0
2
CU
2
Gęstość energii:
W
c
=
V
diel
=
1
2
0
w
E
2
5. Prąd elektryczny (definicja). Typy prądów. Równanie ciągłości, lokalne i obwodowe prawo
Ohma. I i II prawo Kirchoffa.
Prąd elektryczny
- uporządkowany ruch ładunków elektrycznych. Za kierunek prądu umownie
przyjęto kierunek od niższego do wyższego potencjału.
Typy prądów:
I
=
dQ
dt
a) liniowy:
[
A
]
[
m
]
b) powierzchniowy:
I
S
=
y
⋅
V
I
=
S
I d S
[
A
]
c) objętościowy:
Q
pot
Równanie ciągłości
:
– postać całkowa:
S
I d S
= −
d
dS
– postać różniczkowa:
divI
= −
d
v
dt
∇⋅
I
= −
d
v
dt
Lokalne prawo Ohma
:
a)
I
=
E
b)
E
=⋅
I
- przenikalność właściwa materiału; - oporność materiału;
Obwodowe prawo Ohma
:
I
=
L
S
=
R
I prawo Kirchoffa
:
S
J d S
= 0
(Całka po powierzchni zamkniętej z gęstości prądu równa jest 0)
II prawo Kirchoffa
:
∮
l
Ed l
= 0
(Napięcie obliczone po biegunowej zamkniętej jest równe 0)
6. Pole magnetostatyczne. Prawo Grassmanna, Biota- Savarta i prawo przepływu Ampera,
prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya, reguła Lenza- rysunki i wzory.
Pole magnetostatyczne
jest określone wektorem indukcji magnetycznej.
B
=
d F
12
dt
[
T
]
Prawo Grassmanna
:
d F
12
=
4
I
1
I
2
d l
1
×
r
12
×
d l
2
[
N
]
∣
r
12
∣
3
Siła z jaką jeden przewodnik z prądem oddziałuje na drugi
Prawo Biota – Savurta
:
d B
=
4
I
dl
×
r
∣
r
∣
3
[
Wb
]
Określa wartość indukcji magnetycznej w punkcie odległym od r od
elementu z prądem I.
Prawo przepływu Ampera
:
N
∮
L
H dl
=
i
=1
I
i
Cyrkulacja natężenia pola magnetycznego po dowolnej krzywej
zamkniętej jest równe algebraicznej sumie prądów obejmowanych przez
kontur I.
U
0
0
[ Pobierz całość w formacie PDF ]