Rachunek rozniczkowy, Budownictwo PŁ, Matematyka, I semestr
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Denicja i wlasnosci funkcji
Denicja 1.1 Niech X i Y - niepuste zbiory. Funkcj a przeksztalcaj ac a
X w Y nazywamy takie odwzorowanie f; ktore kazdemu elementowi x 2 X
przyporz adkowuje dokladnie jeden element y 2 Y: Piszemy wowczas y = f(x):
Zbior X nazywac bedziemy dziedzin a funkcji f.
Denicja 1.2 Niech f : X ! Y; A X; B Y:
Zbior f(A) = ff(a) : a 2 Ag nazywamy obrazem zbioru A w funkcji f:
Zbior f
1
(B) = fa 2 X : f(a) 2 Bg nazywamy przeciwobrazem zbioru B w
funkcji f:
W szczegolnosci zbior f(X) Y nazywamy zbiorem wartosci funkcji f:
1
Denicja 1.3 Funkcje f : X ! Y nazwiemy:
roznowartosciow a, gdy dla dowolnych x
1
; x
2
2 X warunek x
1
6= x
2
poci aga za sob a f(x
1
) 6= f(x
2
):
' na Y ', gdy f(X) = Y
wzajemnie jednoznaczn a, jezeli spelnia poprzednie dwa warunki.
Denicja 1.4 Niech f : X ! Y; wzajemnie jednoznaczna. Wowczas istnieje
dokladnie jedna taka funkcja f
1
: Y ! X; ze dla dowolnego x 2 X i dowolnego
y 2 Y
y = f(x) () x = f
1
(y)
Te funkcje nazywamy funkcj a odwrotn a do f:
Denicja 1.5 Niech f : X ! Y; g : Y ! Z: Funkcje h : X ! Z dan a wzorem
h(x) = g
f(x)
nazywamy zlozeniem lub superpozycj a funkcji f i g i oznaczamy przez gf:
Denicja 1.6 Niech f : X ! Y; A X: Funkcje fj
A
: A ! Y dan a wzorem
fj
A
(x) = f(x)
dla x 2 A
bedziemy nazywac obci eciem funkcji f do zbioru A:
2
Denicja 1.7 Powiemy, ze funkcja f : E ! R; gdzie E R jest
rosn aca (odp. niemalej aca), gdy dla dowolnych x
1
;x
2
2 E warunek
x
1
< x
2
poci aga za sob a warunek f(x
1
) < f(x
2
) (odp. f(x
1
) f(x
2
)).
ograniczona z gory, gdy istnieje taka liczba M 2 R; ze dla dowolnego
x 2 E zachodzi f(x) < M:
ograniczona, gdy istnieje taka liczba M 2 R; ze dla dowolnego x 2 E
zachodzi jf(x)j < M:
parzysta (odp. nieparzysta), gdy dla dowolnego x 2 E zachodzi
(x) 2 E i f(x) = f(x) (odp. f(x) = f(x)).
okresowa, gdy istnieje taka liczba T > 0; ze dla dowolnego x 2 E i
dowolnej liczby calkowitej k zachodzi x + kT 2 E i f(x + kT) = f(x):
3
2
Ci agi liczbowe
Denicja 2.1 Ci agiem liczbowym nazwiemy dowoln a funkcje o wartosciach
rzeczywistych, okreslon a na zbiorze liczb naturalnych. Ci agi tradycyjnie ozna-
czamy pocz atkowymi literami alfabetu, stosujemy tez notacj e a
n
zamiast a(n):
Denicja 2.2 Powiemy, ze liczba g jest granic a ci agu (a
n
)
n2
N
; gdy dla do-
wolnego > 0 istnieje taka liczba N; ze dla dowolnego naturalnego n > N
spelniona jest nierownosc ja
n
gj < : Symbolicznie bedziemy zapisywac ten
fakt nastepuj aco
n!1
a
n
= g lub a
n
! g:
Bedziemy tez mowic, ze ci ag a
n
jest zbiezny do g:
lim
Denicja 2.3 Powiemy, ze +1 (odp. 1) jest granic a ci agu (a
n
)
n2
N
; gdy dla
dowolnego M 2 R istnieje taka liczba N; ze dla dowolnego naturalnego n > N
spelniona jest nierownosc a
n
> M (odp. a
n
< M).
Bedziemy tez mowic, ze
ci ag a
n
jest rozbiezny do +1 (odp. do 1.)
4
Twierdzenie 2.1 Ci ag zbiezny jest ograniczony.
Twierdzenie 2.2 Ci ag monotoniczny i ograniczony jest zbiezny.
Twierdzenie 2.3 Dowolny ci ag ma co najwyzej jedn a granice.
Twierdzenie 2.4 (o zachowaniu nierownosci) Jezeli a
n
! g; przy czym
a
n
M dla prawie wszystkich n 2 N to g M:
Twierdzenie 2.5 (o trzech ci agach) Jezeli dla prawie wszystkich n 2 N
a
n
b
n
c
n
; przy czym lim
n!1
a
n
= lim
n!1
c
n
= g to lim
n!1
b
n
= g:
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]