Rachunek Prawdop--Bolt - sciaga-p8, RP I
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->11.1Podstawy teorii miary probabilistycznejZbiory mierzalne –σ–ciałozbiorówZałóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. NiechFbędzie taką rodziną podzbiorów Ω, że:•Ω∈F•A∈F ⇒A∈F•∀i∈IAi∈ F ⇒i∈IAi∈ FWtedy rodzinęFnazywamyσ–ciałemzbiorów.Gdy dana jest pewna rodzinaApodzbiorów zbioru Ω,σ–ciałemgenerowanym przez tą rodzinę, nazywamy naj-mniejsze (w sensie zawierania)σ–ciałozawierająceAi oznaczamyσ(A).Można udowodnić, żeσ(A)jest przekrojemwszystkichσ–ciałzawierającychA.GdyAmanelementów i są one parami rozłączne, oraz spełniają waruneknni=1Ai= Ω toσ(A)ma 2 elementów.1.2Zbiory borelowskieNiech Ω =R.Wówczasσ–ciałogenerowane przez wszystkie zbiory otwarte zawarte wRoznaczmy przezB(R)inazywamyrodziną zbiorów borelowskich.Rodzina ta zawiera w szczególności wszystkie przedziały (a,b).Funkcjęf:R→Rnazywamyfunkcją borelowską,gdy przeciwobrazy zbiorów postaci (−∞,a)są borelowskie.W szczególności wszystkie funkcje ciągłe, są borelowskie (ale nie wszystkie funkcje borelowskie są ciągłe).1.3Miara probabilistycznaNiech dany będzie pewien zbiór Ω iσ–ciałoF.FunkcjęP:F →R+, spełniającą:•P(∅) = 0,•P(i∈IAi) =zbiorówAi.i∈IP(Ai) dla parami rozłącznychnazywamymiarą.Jeśli dodatkowo spełniony jest warunek:P(X) = 1 toPnazywamymiarą probabilistycznąlub prawdopodobieństwem.Trójkę (Ω,F,P) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.22.1Rozkład prawdopodobieństwaRozkład dyskretnyNiech (X,F,P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Mówimy, że rozkład prawdopodobieństwaPjest dyskretny, jeśliistnieje co najwyżej przeliczalny zbiórA∈ Ftaki, żeP(A) = 1.2.2Dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwaRozpatrzmy przestrzeń probabilistyczną (R,B(R),P). FunkcjęF:R→R,daną wzorem:F(t) =P((−∞,t))nazywa-mydystrybuantąrozkładuP. Dystrybuanta posiada następujące własności:•∀t∈RF(t)1,•F(−∞) = limt→−∞F(t) = 0,•Fjest lewostronnie ciągła,•Fjest niemalejąca,•F(+∞) = limt→+∞F(t) = 1.Punkty nieciągłości (punkty skokowe)Fsą tzw.nośnikami prawdopodobieństwa– tzn. prawdopodobieństwokażdego takiego punktu jest niezerowe. Jeśli rozkład prawdopodobieństwa jest dyskretny, to dystrybuanta jest ponadtostała między punktami skokowymi.2.3Rozkład ciągłyMówimy, że miara probabilistycznaPokreślona na (R,B(R))jest typu ciągłego, gdy istnieje funkcjaf:R→R,taka,żeP(A) =Af(x)dx dla dowolnegoA∈ B(R).Funkcjęfnazywamy gęstością miaryP.1Własności gęstości miary probabilistycznej•Rf(x)dx = 1,•f(x)0 prawie wszędzie (czyli zbiór punktów wktórych to nie jest prawda, ma miarę równą 0).Każda funkcjaf:R→Rktóra spełnia te własności jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa.Niechfbędzie gęstością, aFdystrybuantą. Wtedy zachodzi:xF(x) =P((−∞,x))=−∞f(t)dtDystrybuanta rozkładu typu ciągłego jest funkcją ciągłą. W punktach ciągłościfistnieje pochodna dystrybuanty izachodzi:f(x) =F(x).Uwaga.Nie każda ciągła dystrybuanta jest dystrybuantą rozkładu typu ciągłego. Istnieją rozkłady które nie sąani ciągłe ani dyskretne.3Zmienna losowaZmienną losowąnazywamy dowolną funkcjęX: Ω→Rtaką, że∀x∈R{ω:X(ω) < x}∈F.W przypadku gdyF= 2Ω, dowolna funkcjaX: Ω→Rjest zmienną losową.3.1Definicje podstawoweNiech dana będzie przestrzeń probabilistyczna (Ω,F,P), oraz pewna zmienna losowaX.Wówczas funkcjaPX(A) =P(X−1(A)) jest miarą probabilistyczną, oraz (R,B(R),PX) jest przestrzenią probabilistyczną. MiaręPXnazywamyprawdopodobieństwem generowanym przez zmienną losową X.Mając miaręPXodpowiadającą pewnej zmiennej losowejXmożemy więc zdefiniować pojęciedystrybuantyzmiennej losowej.Dystrybuantą zmiennej losowejXnazywamy funkcjęFX:R→Rdaną wzorem1:FX(t) =PX((−∞,t))=P(X−1(−∞,t))=P(X< t).3.2Dyskretna zmienna losowaZmienną losowąXnazywamyzmienną typu dyskretnego,gdy istnieje co najwyżej przeliczalny zbiórB∈ B(R),taki, żePX(B) = 1.3.3Ciągła zmienna losowaZmienną losowąXzmienną typu ciągłego,gdy istnieje gęstość rozkładu prawdopodobieństwaPX.3.4Funkcja zmiennej losowejJeśliXjest zmienną losową, agfunkcją borelowską, to złożenieY=g◦Xjest również zmienną losową. Ponadtozachodzi:PY(B) =Pg◦X(B) =P({ω :g(X(ω))∈B})=P({ω :X(ω)∈g−1(B)}) =PX(g−1(B))Ponadto jeśliXjest typu ciągłego to mamy:FY(y) ={x:g(x)<y}fX(x)dx.Jeśli dodatkowo, wiemy żegjest różniczkowalna i ściśle rosnąca (g (x) = 0), to:yFY(y) =g−1(−∞)(g−1(t))fX(g−1(t))dt1g(g−1(y))orazfY(y) =fX(g−1(y))(g−1(y)) =fX(g−1(y)).3.5Niezależne zmienne losoweZmienne losoweX1, X2, . . . , Xnsąniezależnejeżeli dla dowolnych zbiorów borelowskichB1, B2, . . . , Bnzachodzi:P(X1=B1∧X2=B2∧. . .∧Xn=Bn) =P(X1=B1)P (X2=B2)· · ·P(Xn=Bn)1Wzórpodany jest na kilka sposobów – stosuje się zamiennie kilka równoważnych form zapisu.23.63.6.1Charakterystyki zmiennych losowychWartość oczekiwanaWartością oczekiwanązmiennej losowejXnazywamy liczbęEX.W przypadku, gdyXjest zmienną typu ciągłego wartość oczekiwana ma wartość:EX=i∈Ixipi.o ile szereg jest bezwzględnie zbieżny (jeśli nie jest toEXnie istnieje).W przypadku, gdyXjest zmienną typu ciągłego o gęstościf, wartość oczekiwana wyraża się wzorem:EX=Rxf(x)dxi istnieje, gdy całka jest zbieżna.Własności wartości oczekiwanej•X⇒EXE|X|•|EX|•dlaa, b∈RzachodziE(aX+bY) =aEX+bEY•dlaa∈RzachodziEa=a•E(X−EX)= 0•E(XY) =EX∗EY, gdyXiYsą niezależneWartość oczekiwana z funkcji zmiennej losowejdyskretnego, to:Eϕ(X)=a gdyXjest typu ciągłego, o gęstościf, to:Eϕ(X)=RJeśliϕjest funkcją borelowską, a zmienna losowaXjest typuϕ(xi)P (X =xi)i∈Iϕ(x)f(x)dx3.6.2WariancjaWariancją zmiennej losowejXnazywamy liczbęV ar(X)daną wzorem:V ar(X)=EX2−(EX)2.W przypadku zmiennej losowejXtypudyskretnegozachodzi wzór:V ar(X)=i∈I(xi−EX)2pi.Własności wariancji•V ar(X)•V ar(X±Y) =V ar(X)+V ar(Y) gdyXiYsąniezależne•V ar(cX)=c2V ar(X)dlac∈R•V ar(X+c)=V ar(X)Liczbę3.6.3√•V ar(X)= 0⇐⇒ ∃cP(X =c)= 1V arXnazywa się czasemodchyleniem standardowymi oznacza przezσ(X).Kowariancja i współczynnik korelacjiNiechX, Ybędą zmiennymi losowymi. Liczbęcov(X, Y) =E[(X−EX)(Y−EY)] nazywamy kowariancją zmiennychXiY. Kowariancję możemy wyliczyć również ze wzoru:cov(X, Y) =EXY−EXEY. Zauważmy, że gdyX=Ytocov(X, Y) =cov(X, X)=V ar(X).V ar(X)V ar(Y)TW.|cov(X,Y)|24Ponadto zachodzi:cov(aX+b,cY+d) =ac·cov(X, Y),cov(a1X1+a2X2, a3X3+a4X4) =i=1 j=3aiajcov(Xi, Xj).Liczbęρ(X, Y) =√cov(X,Y)nazywamywspółczynnikiem korelacjizmiennychXiY.V ar(X)V ar(Y)Gdyρ(X, Y) = 0, to mówimy, że zmienne sąnieskorelowane.Gdyρ(X, Y) =±1toP(X =aY+b)= 1 dla pewnycha, b∈R.33.6.4Inne charakterystyki liczboweZmienna typu dyskretnegoMoment zwykły rzędur αr=EXr=i∈Ixrpiii∈I(xiMoment centralny rzędur µr=E(X−α1)r=−α1)rpilimx→x0,5F(x);pxi<x0,5Medianakażda liczbax0,5spełniająca warunkiF(x0,5)0, 5pi0, 5xix0,5xi<xppipKwantyl rzędupkażda liczbaxp,< p <1 spełniająca warunkiF(xp)xixppilimx→xpF(x);piDominantam– punkt skokowyxk, różny odmin(xi) imax(xi), dla któregop(xk) osiąga maksimum absolutne.Zmienna typu ciągłegoMoment zwykły rzędur αr=EXr=Rxrf(x)dxRMoment centralny rzędur µr=E(X−α1)r=MedianaF(x0,5) = 0, 5Kwantyl rzędup F(xp) =p(x−α1)rf(x)dxDominantam– odcięta maksimum absolutnego gęstości.3.7Funkcja charakterystycznaFunkcją charakterystyczną zmiennej losowejXnazywamy funkcję zespolonąϕ:R→Cdaną wzoremϕ(t)=EeitX. W przypadku gdyXjest zmienną losową typu dyskretnego, funkcja charakterystyczna wyraża się wzorem:ϕ(t)=kpkeitxkW przypadku ciągłej zmiennej losowejXo gęstościfmamy natomiast:eitxf(x)dxRWłasności funkcji charakterystycznej1.ϕ(0)= 1.2.∀t∈Rϕ(t)=ϕ(−t),gdzieϕ(−t)oznacza liczbę zespoloną sprzężoną zϕ(−t).3.∀t∈R|ϕ(t)|1.4.ϕjest funkcją jednostajnie ciągłą (co w szczególności oznacza, że jest ona ciągła).5.ϕjest funkcją rzeczywistą⇔rozkład zmiennej losowejXjest symetryczny względemx= 0.6. JeśliϕX(t) jest funkcją charakterystyczną zmiennej losowejXto, funkcją charakterystyczną zmiennejY=aX+bjest funkcjaϕY(t) =eitbϕX(at).7. Jeżeli istniejek-tymoment zmiennej losowejXo funkcji charakterystycznejϕ,toϕjestk-krotnieróżniczkowalnai zachodzi związekαk=EXk=i1ϕ(k)(0)k8. Funkcja charakterystyczna skończonej sumy niezależnych zmiennych losowych równa się iloczynowi funkcji cha-rakterystycznych tych zmiennych.TW.NiechFbędzie dystrybuantą, zaśϕfunkcją charakterystyczną zmiennej losowej X. Wtedy:1. Dlaa < btakich że,Fjest ciągła (w tych punktach) zachodzi1limR→∞2π2. Jeśli ponadtoRR−Re−ita−e−itbϕ(t)dt=F(b)−F(a)it12πR|ϕ(t)|dt+∞, toXma rozkład typu ciągłego, o gęstościf(x) =e−itxϕ(t)dt.Wniosek.Funkcja charakterystyczna jednoznacznie wyznacza rozkład zmiennej losowej.TW.Jeśliϕjest funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X, okresową o okresieT= 2π, toXjest zmienną typuπ1dyskretnego o wartościach całkowitych orazP(X =k)=2π−πe−itkϕ(t)dt, k∈Z.444.1Katalog zmiennych losowychDyskretne•EX=np•V ar(X)=npqx1+...+xnnRównomierny•pi=1n•EX=•ϕ(t)= (peit+q)nPoissona•Oznaczenie:P(λ)•Parametr:λ >•P(k) =e−λλdlak∈Nk!•EX=λ•V ar(X)=λ•ϕ(t)=eλ(eGeometrycznyitkJednopunktowy•P(x) = 1•EX=x•V ar(X)= 0•ϕ(t)=eitaZero-jedynkowy•P(1) =p, P(0) = 1−p=q•EX=p•V ar(X)=pq•ϕ(t)=pe+qit−1)•Oznaczenie:Geom(p).•P(1) =p, P(0) = 1−pDwumianowy (Bernouliego)•Oznaczenie:B(n, p),n-liczbaprawdopodobieństwo sukcesu,•P(k) =nk•EX=pprób,p-•V ar(X)=•ϕ(t)=1−pp2pkqn−kpeit1−(1−p)eit4.2CiągłeGamma•Oznaczenie: Γ(p,α)•f(x) =αpp−1−αxeΓ(p)x∞Jednostajny(równomierny)•J((a, b)),gdziex+ab−a•F(x) = 01•f(x) =•EX=1b−a(a,b)– przedziałdlaa xdlax < adlax > bbdlax >b−a2dlaa x bdla pozostałychxgdzie Γ(p) =(n−1)!xp−1−xdla pozostałychxe dx, n= 1, 2, 3,. . .,Γ(n) =•ϕ(t)= (1−it−pα)•Uwaga: Γ(1,α)to rozkład wykładniczy.(b−a)212eiat−1iatsinatat•V ar(X)=•Uwaga: Γ(n,1) to tak zwany rozkładχ2(chi kwa-2 2drat) znstopniami swobody.Beta•Parametry:p, q >•f(x)dlaxdlax <β(p, q):=Laplace’adlaxdla pozostałychx•Parametrλ >•f(x) =λe−λ|x|2dlax∈R=Γ(p)Γ(q)Γ(p+q)1p−1(1β(p,q)x•DlaJ((0, a)): ϕ(t)=•DlaJ((−a, a)): ϕ(t)=Wykładniczy•Parametrλ >•F(x) =1−e−λxλe−λxλ1+t2−x)q−1x∈(0, 1)w p.p.•f(x) =•ϕ(t)=5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]