R Pr MAP1151 wyklad8 CTG, EiT PWr, Rachunek Prawdopodobieństwa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rachunekprawdopodobie«stwaMAP1151
WydziałElektroniki,rokakad.2009/10,sem.letni
Wykładowca:drhab.A.Jurlewicz
Wykład8:Zbie»no±¢wedługrozkładu.Centralne
twierdzeniegraniczne.
Zbie»no±cici¡guzmiennychlosowychwedługrozkładu.
Definicja.
Niech
X
n
ma rozkład o dystrybuancie
F
n
(
x
), a
X
- rozkład o dystrybuancie
F
(
x
).
Ci¡g zmiennych losowych
X
1
,
X
2
,...
jest
zbie»nywedługrozkładu
(in.
słabozbie»ny
) do zmiennej losowej
X
, je»eli
F
n
(
x
)
−!
n
!1
F
(
x
)
dla ka»dego takiego
x
, w którym
F
(
x
) jest ci¡gła.
Oznaczenie:
X
n
n
!1
X
,
F
n
n
!1
F
.
Fakt.
(a) Je»eli
X
n
n
!1
X
, to
X
n
n
!1
X
.
(b) Gdy
X
n
n
!1
X
, gdzie
P
(
X
=
a
) = 1 dla pewnej stałej
a
, to
X
n
n
!1
X
.
(c) Je»eli
X
n
zpr.
1
n
!1
X
, to
X
n
n
!1
X
.
Uwaga:
W zbie»no±ciach z prawdopodobie«stwem 1, stochastycznej, w przestrzeni
L
r
graniczna
zmienna losowa
X
jest okre±lona z prawdopodobie«stwem 1, tzn. je»eli
X
0
i
X
00
s¡ grani-
cami ci¡gu
X
n
, to
P
(
X
0
=
X
00
) = 1.
W zbie»no±ci słabej okre±lony jest tylko rozkład graniczny danego ciagu i ka»da zmienna
losowa
X
o takim rozkładzie mo»e reprezentowa¢ słab¡ granic¦ tego ci¡gu.
1
−!
−!
−!
−!
−!
−!
−!
−!
TwierdzeniedeMoivre’a-Laplace’a.Centralnetwierdze-
niegraniczne.
n
!1
0 dla dowolnego
>
0,
gdzie
S
n
to ilo±¢ sukcesów w
n
próbach Bernoulliego z prawdopodobie«stwem sukcesu
p
.
S
n
n
−
p
>
−!
<
, gdzie
>
0
jest ustalone? Innymi słowy, dla jakiego
n
prawdopodobie«stwo, »e popełnimy bł¡d rz¦du
przyjmuj¡c cz¦sto±¢ otrzyman¡ z
n
prób jako prawdopodobie«stwo sukcesu
p
, było małe
rz¦du
?
n
−
p
>
TwierdzeniedeMoivre’a-Laplace’a.(XVIII w.)
Niech
S
n
b¦dzie liczb¡ sukcesów w
n
próbach Bernoulliego z prawdopodobie«stwem suk-
cesu
p
. Wtedy
S
n
−
np
q
=
S
n
−
E
S
n
np
(1
−
p
)
p
D
2
S
n
n
!1
Y
gdzie
Y
ma standardowy rozkład normalny
N
(0
,
1).
Inaczej mówi¡c, dla dowolnego
x
2
R
0
1
S
n
−
np
q
P
@
< x
A
−!
n
!1
(
x
)
np
(1
−
p
)
Z
2
e
−
t
2
2
dt
to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego
N
(0
,
1).
gdzie (
x
) =
p
−1
Uwaga:
Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a mówi o tym, »e liczba sukcesów w
n
próbach Bernoul-
liego z prawdopodobie«stwem sukcesu
p
po standardyzacji (tzn. unormowaniu do zmiennej
losowej o ±redniej 0 i wariancji 1) d¡»y według rozkładu do standardowego rozkładu nor-
malnego, gdy
n
!1
.
Zatem dla du»ych
n
liczba sukcesów w
n
próbach Bernou
lliego z pr
awdopodobie«stwem
n
ma asymptotycznie rozkład normalny
N
p,
q
p
(1
−
p
)
n
.
Oszacowaniedokładno±ciprzybli»eniawtwierdzeniudeMoivre’a-Laplace’a:
0
1
S
n
−
np
q
¬
C
·
p
2
+ (1
−
p
)
2
sup
x
2
R
P
@
< x
A
−
(
x
)
q
np
(1
−
p
)
np
(1
−
p
)
dla pewnej stałej
1
p
2
¬
C <
0
,
8.
2
Z PWL Bernoulliego wiemy, »e
P
Pytanie:
Jaka jest szybko±¢ zbie»no±ci, tzn. dla jakiego
n
mamy
P
S
n
−!
1
sukcesu
p
ma asymptotycznie rozkład normalny
N
(
np,
q
np
(1
−
p
)). Równowa»nie, cz¦-
sto±¢ wyst¦powania sukcesów
S
n
ZastosowanietwierdzeniadeMoivre’a-Laplace’a
1.Oszacowanieprawdopodobie«stwabł¦duwPWLBernoulliego:
>
0
1
0
0
p
n
1
1
S
n
n
−
p
S
n
−
np
q
n
P
=
P
@
>
q
A
2
@
1
−
@
q
A
A
np
(1
−
p
)
np
(1
−
p
)
p
(1
−
p
)
dla
n
dostatecznie du»ych.
Bł¡d oszacowania nie przekracza 1
,
6
p
2
+ (1
−
p
)
2
q
np
(1
−
p
)
.
2.Przybli»onysposóbobliczania
P
(
S
n
< k
)
Z twierdzenia de Moivre’a-Laplace’a mo»na w przybli»ony sposób szybko obliczy¢ praw-
dopodobie«stwa wyst¡pienia
k
sukcesów w
n
próbach Bernoulliego dla du»ych
n
i
p
z
wn¦trza przedziału (0
,
1), odległych od 0 i od 1.
0
@
k
−
0
,
5
−
np
1
P
(
S
n
< k
) =
P
(
S
n
< k
−
0
,
5)
q
A
np
(1
−
p
)
0
@
k
+ 0
,
5
−
np
1
P
(
S
n
¬
k
) =
P
(
S
n
< k
+ 0
,
5)
q
A
np
(1
−
p
)
0
@
k
−
0
,
5
−
np
1
P
(
S
n
k
) =
P
(
S
n
> k
−
0
,
5)
1
−
q
A
np
(1
−
p
)
0
@
k
+ 0
,
5
−
np
1
P
(
S
n
> k
) =
P
(
S
n
> k
+ 0
,
5)
1
−
q
A
np
(1
−
p
)
z bł¦dem, który nie przekracza
0
,
8(
p
2
+ (1
−
p
)
2
)
q
np
(1
−
p
)
.
0
@
k
+ 0
,
5
−
np
1
0
@
k
−
0
,
5
−
np
1
P
(
S
n
=
k
) =
P
(
k
−
0
,
5
< S
n
< k
+ 0
,
5)
q
A
−
q
A
np
(1
−
p
)
np
(1
−
p
)
z bł¦dem, który nie przekracza
1
,
6(
p
2
+ (1
−
p
)
2
)
q
np
(1
−
p
)
.
Przykładydozad.6.1
3
CentralneTwierdzenieGraniczne
PWL Bernoulliego (tw. Borela) to szczególny przypadek PWL dla ci¡gu niezale»nych
zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie o sko«czonej ±redniej (gdy rozkład ten jest
zerojedynkowy
B
(1
,p
)). Podobnie, twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a jest szczególnym
przypadkiem ogólniejszego
CentralnegoTwierdzeniaGranicznego(CTG)
Lindeberga-Lévy’ego
:
CentralneTwierdzenieGraniczneLindeberga-Lévy’ego.
Niech (
X
n
) b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie,
przy czym 0
<
D
2
X
n
=
2
<
1
. Oznaczmy
m
= E
X
n
(ta warto±¢ oczekiwana istnieje na
mocy zało»enia, »e istnieje wariancja). Wówczas
S
n
−
nm
p
n
n
!1
Y,
gdzie
Y
ma standardowy rozkład normalny
N
(0
,
1).
Inaczej mówi¡c, dla dowolnego
x
2
R
S
n
−
nm
!
P
p
n
< x
n
!1
(
x
)
Z
2
e
−
t
2
2
dt
to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego
N
(0
,
1).
gdzie (
x
) =
p
−1
Oszacowaniedokładno±ciprzybli»enia
wCTGLindeberga-Lévy’ego:
Nierówno±¢Berry-Essena
Niech (
X
n
) b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie,
przy czym E
|
X
n
|
3
<
1
. Ponadto niech
m
= E
X
n
,
2
= D
2
X
n
>
0 (ta warto±¢ oczekiwana
i wariancja istniej¡ na mocy zało»enia o rozkładzie). Wówczas
P
S
n
−
nm
p
n
!
¬
C
E
|
X
1
−
m
|
3
sup
x
2
R
< x
−
(
x
)
3
p
n
,
dla pewnej stałej
C
, która spełnia nierówno±¢
1
p
2
¬
C <
0
,
8.
4
−!
−!
1
Uwagi:
1. Je»eli zmienne losowe
X
n
maja niezerow¡ sko«czon¡ wariancj¦, to do szacowa-
nia szybko±ci zbie»no±ci w PWL Kołmogorowa mo»na stosowa¢ metody analogicz-
ne do tych dotyczacych PWL Bernoulliego, opartych na twierdzeniu de Moivre’a-
Laplace’a.
2. Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a, CTG Lindeberga-Lévy’ego to przykłady central-
nych twierdze« granicznych. CTG dla zmiennych o ró»nych rozkładach to np. twier-
dzenie Lindeberga-Fellera, twierdzenie Lapunowa.
3. CTG Lindeberga-Lévy’ego to wynikanie:
istnieje niezerowa wariancja =
)
zbie»no±¢ unormowanych sum do standardowego
rozkładu normalnego.
InterpretacjaCTGLindeberga-Lévy’ego:
Je»eli wielko±¢ fizyczna jest opisana zmienn¡ losow¡ i jest wynikiem sumowania wielu
niezale»nych jednakowych statystycznie efektów, przy czym rozkład efektu ma sko«czon¡
wariancj¦, to wielko±¢ ta ma asymptotycznie rozkład normalny.
Przykładydozad.6.2
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]