R Pr MAP1151 wyklad6 srednia, EiT PWr, Rachunek Prawdopodobieństwa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rachunekprawdopodobie«stwaMAP1151
WydziałElektroniki,rokakad.2009/10,sem.letni
Wykładowca:drhab.A.Jurlewicz
Wykład6:Warto±¢oczekiwana,wariancja,kwan-
tylerz¦du
q
.Standaryzacjarozkładunormalnego.
Warto±¢oczekiwana(in.warto±¢±rednia)
8
<
P
x
n
p
n
,
gdy
X
marozkładdyskretny
zadanyci¡giem
{
(
x
n
,p
n
)
,n
2
T
}
;
Z
n
2
T
R
−1
xf
(
x
)
dx,
gdy
X
marozkładci¡głyog¦sto±ci
f
(
x
).
Warto±¢oczekiwanaistnieje,gdycałka(szereg)jestzbie»na.
xdF
(
x
) =
:
−1
Przykłady:
RozkładBernoulliego:Dla
X
orozkładzie
B
(
n,p
)mamy
n
k
!
n
−
1
k
−
1
!
X
X
E
X
=
k
p
k
(1
−
p
)
n
−
k
=
np
p
k
−
1
(1
−
p
)
n
−
1
−
(
k
−
1)
=
k
=0
k
=1
n
−
1
l
!
n
−
X
=
np
p
l
(1
−
p
)
n
−
1
−
l
=
np
(
p
+ 1
−
p
)
n
−
1
=
np.
l
=0
Rozkładwykładniczy:Dla
X
orozkładzie
E
xp
(
)mamy
Z
1
Z
1
·
(2) =
1
.
E
X
=
xe
−
x
dx
=
t
2
−
1
e
−
t
dt
=
0
0
Kwantylerz¦du
q
,0
< q <
1.
Mediana(in.warto±¢±rodkowa),kwartyle.
Kwantylrz¦du
q
totakipunkt
x
q
,dlaktórego
F
(
x
q
)
¬
q
¬
lim
x
!
x
q
F
(
x
)
.
Je±lidystrybuantajestfunkcj¡
ci¡gł¡
,towarunektenupraszczasi¦do
F
(
x
q
) =
q.
Medianato
x
0
,
5
,kwantylrz¦du
q
= 0
,
5.
Kwartyleto
x
0
,
25
i
x
0
,
75
,kwantylerz¦du
q
= 0
,
25i
q
= 0
,
75.
Zarównomedianajakwarto±¢oczekiwanas¡miaramipoło»enia
rozkładuzmiennejlosowej
X
.
1
E
X
=
Wariancja(in.dyspersja)
D
2
X
= E
X
2
−
(E
X
)
2
= E(
X
−
E
X
)
2
Inneoznaczenie:Var
X
.
Mo»napokaza¢,»e
Z
D
2
X
=
x
2
dF
(
x
)
−
(E
X
)
2
=
−1
8
<
X
x
2
n
p
n
−
(E
X
)
2
,
gdy
X
marozkładdyskretny
n
2
T
zadanyci¡giem
{
(
x
n
,p
n
)
,n
2
T
}
;
=
:
Z
x
2
f
(
x
)
dx
−
(E
X
)
2
,
gdy
X
marozkładci¡głyog¦sto±ci
f
(
x
).
−1
Inaczej,
Z
D
2
X
=
(
x
−
E
X
)
2
dF
(
x
) =
−1
8
<
X
(
x
n
−
E
X
)
2
p
n
,
gdy
X
marozkładdyskretny
n
2
T
zadanyci¡giem
{
(
x
n
,p
n
)
,n
2
T
}
;
=
:
Z
(
x
−
E
X
)
2
f
(
x
)
dx,
gdy
X
marozkładci¡głyog¦sto±ci
f
(
x
).
−1
Wariancjaistnieje,gdycałka(szereg)jestzbie»na.
D
X
=
p
D
2
X
toodchyleniestandardowe.
Wariancjaiodchyleniestandardowes¡miaramirozproszeniarozkładu
X
.
Fakt:
(a)ZawszeD
2
X
0.
(b)D
2
X
= 0wtedyitylkowtedy,gdy
P
(
X
= E
X
) = 1tzn.gdy
X
przyjmujetylko
jedn¡warto±¢(identyczn¡wtedyzwarto±ci¡oczekiwan¡).Takazmiennalosowa
(takirozkład)nazywanajestzdegenerowan¡.
Momentrz¦du
r >
0
,momentcentralnyrz¦du
r >
0
E
X
r
,E
|
X
−
E
X
|
r
,okre±lonewtedy,gdyzbie»nes¡odpowiedniecałki,szeregi.
(Wariancja
X
tomomentcentralnyrz¦du2.)
Przykładydozad.4.1-4.2
2
Warto±¢oczekiwanatransformacjizmiennejlosowej
X
:
8
<
X
g
(
x
n
)
p
n
,
gdy
X
marozkładdyskretny
Z
n
2
T
zadanyci¡giem
{
(
x
n
,p
n
)
,n
2
T
}
;
E
Y
= E
g
(
X
) =
g
(
x
)
dF
(
x
) =
:
Z
−1
g
(
x
)
f
(
x
)
dx,
gdy
X
marozkładci¡głyog¦sto±ci
f
(
x
).
−1
oilecałka(szereg)zbie»na.
Wniosek:
Je±liistniejeE
X
,to
E(
aX
+
b
) =
a
E
X
+
b
D
2
(
aX
+
b
) =
a
2
D
2
X.
Dowód:D
2
(
aX
+
b
) = E(
aX
+
b
−
(
a
E
X
+
b
))
2
=
a
2
E(
X
−
E
X
)
2
=
a
2
D
2
X.
Przykładydozad.4.3
Rozkładnormalnyzparametrami
m
2
R
i
>
0
wskrócie
N
(
m,
).
Jesttorozkładog¦sto±ci
f
(
x
) =
p
2
e
−
(
x
−
m
)
2
1
2
2
.
Je»eli
X
marozkład
N
(
m,
),toE
X
=
m
orazD
2
X
=
2
.
marozkład
N
(0
,
1),
zwanystandardowymrozkłademnormalnym.
Dystrybuant¦rozkładu
N
(0
,
1)oznaczamyzwykle(
x
).
Warto±ci(
x
)dla0
¬
x
¬
4
,
417znajduj¡si¦wtablicach,
dlawi¦kszych
x
warto±¢(
x
)toprawie1.
Natomiastdla
x <
0stosujemywzór(
−
x
) = 1
−
(
x
).
Carl Gauss (1777-1855), Niemiec, zastosował ten rozkład do losowych bł¦dów.
Wcze±niej rozkład był wprowadzony przez A. de Moivre’a w 1733 r.
Nazwa „normalny” wprowadzona przez H. Poincarè.
Przykładydozad.4.4
3
orazje±liistniejeD
2
X
,to
Je±li
X
marozkład
N
(
m,
),to
X
−
m
[ Pobierz całość w formacie PDF ]