R Pr MAP1151 wyklad4 rozklady dyskretne, EiT PWr, Rachunek Prawdopodobieństwa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rachunekprawdopodobie«stwaMAP1151
WydziałElektroniki,rokakad.2009/10,sem.letni
Wykładowca:drhab.A.Jurlewicz
Wykład4:Zmiennelosowedyskretne.Rozkłady
Bernoulliego(dwumianowy),Pascala,Poissona.Przy-
bli»eniePoissonarozkładudwumianowego.
Definicja.
Zmiennalosowadyskretna
(in. o rozkładzie dyskretnym)
to taka zmienna losowa, która przyjmuje z dodatnim prawdopodobie«stwem jedynie sko«-
czon¡ lub niesko«czon¡ przeliczaln¡ liczb¦ ró»nych warto±ci.
Technikaokre±laniarozkładu
dyskretnejzmiennejlosowej
X
:
Pełna informacja o rozkładziedyskretnejzmiennej losowej
X
zawarta jest w ci¡gu par
{
(
x
n
,p
n
)
,n
2
T
N
}
,
gdzie
{
x
n
,n
2
T
}
to ci¡g wszystkich warto±ci przyjmowanych przez zmienn¡ losow¡
X
z
dodatnim prawdopodobie«stwem, natomiast
p
n
=
P
(
X
=
x
n
)
, n
2
T
.
Z ci¡gu tego mo»emy dosta¢ informacj¦ o warto±ci funkcji
P
X
(
B
)dla dowolnego zbioru
borelowskiego
B
:
P
X
(
B
)=
P
(
X
2
B
)=
X
n
2
T
B
p
n
,
gdzie
T
B
to zbiór tych
n
, dla których
x
n
2
B
. W szczególno±ci, dystrybuanta ma posta¢
F
(
x
)=
P
(
X < x
)=
X
n
2
T(
x
)
p
n
,
gdzie
T
(
x
)to zbiór tych
n
, dla których
x
n
< x
. Inaczej mówi¡c, zmienna losowa ma
rozkład dyskretny wtedy i tylko wtedy, gdy jej dystrybuanta jest funkcj¡ schodkow¡.
Schodki s¡ w punktach
x
1
,
x
2
,...
i maj¡ wysoko±ci odpowiednio
p
1
,
p
2
,...
1
Ci¡g
{
(
x
n
,p
n
)
,n
2
T
N
spełnia nast¦puj¡ce warunki:
{
x
n
,n
2
T
}
to ci¡g ró»nowarto±ciowy;
p
n
0dla ka»dego
n
2
T
;
P
n
2
T
Je»eli pewien ci¡g
{
(
x
n
,p
n
)
,n
2
T
N
spełnia te warunki, to dla pewnej zmiennej
losowej
X
mamy
p
n
=
P
(
X
=
x
n
). Ci¡g ten ma wtedy probabilistyczn¡ interpretacj¦,
reprezentacj¦, mo»e by¢ u»ywany w modelach do definiowania rozkładu dyskretnego.
Przykład:
X
- zachowanie dziewczyny, gdy jej chłopak spó¹nia sie na randk¦, opisane licz-
bowo:
X
=
−
1- gniewa si¦;
X
=0- nie zauwa»a;
X
=1- cieszy si¦, »e wreszcie przyszedł:
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
p
0.3
3
p
0.2
p
2
0.1
1
0
−0.1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
1.1
1
F(x)
0.9
0.8
0.7
p
3
0.6
0.5
0.4
0.3
p
2
0.2
x
0.1
p
1
0
−0.1
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Przykładydozad.3.1
2
p
n
=1.
−2
SchematBernoulliego
Schemat Bernoulliego modeluje sytuacj¦, w której:
1. Wykonujemy do±wiadczenie, w którym mo»liwe s¡ dwa wyniki. Jeden z tych wyników
nazywamy sukcesem, drugi pora»k¡. Szansa na wynik „sukces” wynosi
p
.
2. Do±wiadczenie mo»emy powtarza¢ bez zmiany warunków, niezale»nie.
PlanI: Wykonamy
n
takich do±wiadcze« i zliczymy ilo±¢ sukcesów. Oznaczmy ilo±¢
sukcesów przez
X
. Przed realizacj¡ eksperymentu nie wiemy, jaka jest ta liczba. Wiemy
natomiast, »e mo»liwe warto±ci
X
to0
,
1
,
2
,...,n
oraz »e dla
k
z tego zbioru mo»liwych
warto±ci prawdopodobie«stwo, »e w
n
próbach otrzymamy dokładnie
k
sukcesów wynosi
p
k
(1
−
p
)
n
−
k
.
Ilo±¢sukcesóww
n
próbachBernoulliego
X
to dyskretna zmienna losowa.
Po wykonaniu planu otrzymamy konkretn¡ liczb¦ - realizacj¦ tej zmiennej losowej.
X
marozkładdwumianowy(inaczejBernoulliego)
zparametrami
n
2
N
i0
<p<
1; w skrócie
B
(
n,p
)
x
k
=
k
,
p
k
=
P
(
X
=
k
)=
k
p
k
(1
−
p
)
n
−
k
dla
k
=0
,
1
,...,n
.
B
(1
,p
)nazywamyrozkłademzerojedynkowymzparametrem
p
.
3
n
k
PlanII: B¦dziemy wykonywa¢ kolejne do±wiadczenia tak długo a» pojawi si¦ wynik
„sukces”. Oznaczmy przez
Y
ilo±¢ wykonanych do±wiadcze«, czyli czas oczekiwania na
pierwszy sukces. Przed realizacj¡ eksperymentu nie wiemy, jaka jest ta ilo±¢. Wiemy na-
tomiast, »e mo»liwe warto±ci
Y
to1
,
2
,...
oraz »e dla
k
z tego zbioru mo»liwych warto±ci
prawdopodobie«stwo, »e pierwszy sukces pojawi si¦ w
k
-tej próbie wynosi
p
(1
−
p
)
k
−
1
.
Y
toczasoczekiwanianapierwszysukceswci¡gupróbBernoulliego.Jest to
dyskretna zmienna losowa. Po wykonaniu planu otrzymamy konkretn¡ liczb¦ - realizacj¦
tej zmiennej losowej.
Y
marozkładgeometrycznyzparametrem0
<p<
1; w skrócie
G
eo
(
p
)
x
k
=
k
,
p
k
=
P
(
Y
=
k
)=
p
(1
−
p
)
k
−
1
dla
k
=1
,
2
,...
PlanIII:Podobnie okreslimy
Z
-czasoczekiwaniana
m
-tysukceswci¡guprób
Bernoulliegoz prawdopodobie«stwem sukcesu
p
.
Z
marozkładujemnydwumianowy(in.Pascala)zparametrami
m
2
N
i0
<p<
1;
w skrócie
NB
(
m,p
)
x
k
=
k
,
p
k
=
k
−
1
m
−
1
p
m
(1
−
p
)
k
−
m
dla
k
=
m,m
+1
,...
NB
(1
,p
)to znany nam ju» rozkład geometryczny
G
eo
(
p
).
Wzór na
p
k
mo»na uogólni¢ na dowolne
m >
0.
X
nie ma wtedy interpretacji czasu ocze-
kiwania na
m
-ty sukces. Nazwa „rozkład Pascala” odnosi si¦ tylko do
m
2
N
.
Przykładydozad.3.2
4
RozkładPoissona
RozkładPoissonazparametrem
>
0; w skrócie
P
(
), definiujemy ci¡giem par:
x
k
=
k
,
p
k
=
k
k
!
e
−
dla
k
=0
,
1
,...
TwierdzeniePoissona
(przybli»eniePoissonarozkładudwumianowego)
Niech
X
n
oznacza liczb¦ sukcesów w
n
próbach Bernoulliego z prawdopodobie«stwem
sukcesu
p
n
. Je»eli
p
n
−!
n
!1
0tak, »e
np
n
−!
n
!1
>
0, to dla dowolnego ustalonego
k
2
N
n
k
!
k
P
(
X
n
=
k
)=
p
n
(1
−
p
n
)
n
−
k
−!
k
!
e
−
=
P
(
Y
=
k
)
,
n
!1
gdzie
Y
ma rozkład Poissona
P
(
).
Dowód:
!
(
np
n
)
k
n
n
k
p
n
(1
−
p
n
)
n
−
k
=
1
k
!
·
n
(
n
−
1)
...
(
n
−
k
+1)
1
−
np
n
n
(1
−
p
n
)
−
k
=
n
k
=
1
1
−
1
n
1
−
k
−
1
n
!
np
n
1
−
p
n
!
k
1
−
np
n
n
n
k
!
·
1
·
...
−!
n
!1
1
1
!
k
e
−
=
k
−!
n
!1
k
!
·
1
k
·
k
!
e
−
.
Oszacowaniedokładno±ciprzybli»enia
wtwierdzeniuPoissona:
Niech
X
n
oznacza liczb¦ sukcesów w
n
próbach Bernoulliego z prawdopodobie«stwem
sukcesu
p
,
Y
- zmienna losow¡ o rozkładzie Poissona
P
(
)z
=
np
. Wtedy dla dowolnego
zbioru borelowskiego
B
|
P
(
X
n
2
B
)
−
P
(
Y
2
B
)
|¬
2
n
=
np
2
.
W praktyce przybli»enie
n
k
!
p
k
(1
−
p
)
n
−
k
k
k
!
e
−
,
gdzie
=
np
, stosuje si¦ dla
n
50,
p
¬
0
,
1,
np
¬
10.
Przykładydozad.3.3
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]