R Pr MAP1151 wyklad1 przestrzen probab, EiT PWr, Rachunek Prawdopodobieństwa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rachunekprawdopodobie«stwaMAP1151
WydziałElektroniki,rokakad.2009/10,sem.letni
Wykładowca:drhab.A.Jurlewicz
Wykład1:Przestrze«probabilistyczna.Prawdo-
podobie«stwoklasyczne.Prawdopodobie«stwogeo-
metryczne.
Definicja.
Przestrzeni¡probabilistyczn¡
nazywamy trójk¦ (
,
F
,P
), gdzie
(a) to pewien niepusty zbiór;
(b)
F
to pewna rodzina podzbiorów zbioru o własno±ciach
;2F
,
je»eli
A
2F
, to
A
c
=
\
A
2F
,
je»eli
A
1
,A
2
,...
2F
, to
1
S
n
=1
A
n
2F
;
(c)
P
to funkcja,
P
:
F −!
[0
,
1], o własno±ciach:
P
() = 1 (unormowanie),
dla
A
1
,A
2
,...
2F
, parami rozł¡cznych (tzn.
A
i
\
A
j
=
;
dla
i
6
=
j
)
P
1
S
A
n
=
1
P
P
(
A
n
) (przeliczalna addytywno±¢).
n
=1
n
=1
zwany jestzbioremzdarze«elementarnychlubprzestrzeni¡stanów,
F
to
-
ciałozdarze«losowych, a funkcja
P
zwana jestprawdopodobie«stwem.
1
Zbiórzdarze«elementarnych:
Elementy zbioru nazywamy zdarzeniami elementarnymi i oznaczamy zwykle przez
!
.
Mo»na je interpretowa¢ jako mo»liwe wyniki pewnego do±wiadczenia. St¡d nazwa „prze-
strze« stanów” dla .
Przykładyzbiorówwmodelachprobabilistycznych:
1. zjawisko: awaria urz¡dzenia składaj¡cego si¦ z
n
elementów,
zdarzenie elementarne
!
i
-
i
-ty element spowodował awari¦,
=
{
!
1
,...,!
n
}
(zbiór sko«czony).
2. zjawisko: zliczanie przez licznik Geigera-Millera cz¡stek elementarnych emitowanych
w czasie
T
przez ciało radioaktywne,
zdarzenie elementarne
!
i
- zliczono
i
cz¡stek,
=
{
!
0
,!
1
,...
}
(zbiór niesko«czony przeliczalny).
3. zjawisko: niezawodno±¢ urz¡dzenia, tzn. czas pracy urz¡dzenia do pierwszej awarii,
zdarzenie elementarne
!
t
- czas pracy urz¡dzenia do pierwszej awarii wyniósł
t
jednostek czasu,
=
{
!
t
,t
0
}
(zbiór nieprzeliczalny).
4. zjawisko: pomiar jednocze±nie wagi i wzrostu człowieka,
zdarzenie elementarne
!
xy
- waga wyniosła
x
kg, wzrost
y
cm,
=
{
!
xy
,x
2
Z
1
,y
2
Z
2
}
, gdzie
Z
1
,
Z
2
to odpowiednie zakresy np.
Z
1
= [0
,
500] kg,
Z
2
= [0
,
300] cm (zbiór nieprzeliczalny).
5. zjawisko: rejestr pracy serca w czasie jednej doby,
zdarzenie elementarne
!
g
- rejestr ma kształt ci¡głej funkcji
g
,
=
{
!
g
,g
-to pewna ci¡gła funkcja
}
(zbiór nieprzeliczalny).
Rodzinazdarze«losowych
F
:
Operacje i działania na zdarzeniach losowych to operacje i działania na zbiorach. Je»eli
dla
A,B
2 F
zachodzi
A
\
B
=
;
, to mówimy, »e zdarzenia
A,B
wykluczaj¡si¦.
Dopełnienie zbioru
A
2 F
nazywamyzdarzeniemprzeciwnymdo
A
. Zawsze
; 2 F
,
2F
.
;
nazywamyzdarzeniemniemo»liwym, a zdarzeniempewnym.
2
Własno±ciprawdopodobie«stwawynikaj¡cezdefinicji:
1. 0
¬
P
(
A
)
¬
1 dla ka»dego
A
2F
2.
P
(
;
) = 0,
P
() = 1
3.
P
(
A
c
) = 1
−
P
(
A
)
4. Je±li
A
B
, to
P
(
A
)
¬
P
(
B
)
5.
P
(
A
[
B
) =
P
(
A
) +
P
(
B
)
−
P
(
A
\
B
) i st¡d
P
(
A
[
B
)
¬
P
(
A
) +
P
(
B
)
6. Je±li
A
1
,A
2
,...
to nierosn¡cy ci¡g zdarze« losowych , tzn.
A
n
+1
A
n
dla ka»dego
n
, to
1
\
P
(
A
n
) = lim
n
!1
P
(
A
n
)
n
=1
7. Je±li
A
1
,A
2
,...
to niemalej¡cy ci¡g zdarze« losowych , tzn.
A
n
A
n
+1
dla ka»dego
n
, to
1
[
P
(
A
n
) = lim
n
!1
P
(
A
n
)
n
=1
Przykładyprzestrzeniprobabilistycznych:
Trywialna przestrze« probabilistyczna:
6
=
;
- dowolny,
F
=
{;
,
}
,
P
(
;
) = 0,
P
() = 1.
Sko«czona przestrze« stanów: =
{
!
1
,...,!
n
}
- zbiórsko«czony,
F
= 2
- rodzina wszystkich podzbiorów zbioru ,
ka»de prawdopodobie«stwo
P
mo»na wtedy skonstruowa¢ w nast¦puj¡cy sposób:
1. wybieramy liczby
p
1
,p
2
,...,p
n
spełniaj¡ce warunki
p
i
0 dla ka»dego
i
=
1
,
2
,...,n
oraz
Z własno±ci prawdopodobie«stwa mamy wtedy dla dowolnego
A
2F
P
(
A
) =
X
p
i
,
{
i
:
!
i
2
A
}
np. dla
A
=
{
!
2
,!
5
}
mamy
P
(
A
) =
P
(
{
!
2
}
) +
P
(
{
!
5
}
) =
p
2
+
p
5
.
3
n
P
i
=1
p
i
= 1,
2. definiujemy
P
(
{
!
i
}
) :=
p
i
dla
i
= 1
,
2
,...,n
.
Przypadek szczególny -
prawdopodobie«stwoklasyczne
:
p
1
=
p
2
=
...
=
p
n
= 1
/n
. Wtedy
P
(
A
) =
#
A
#
,
gdzie #
A
oznacza liczno±¢ zbioru
A
. Innymi słowy,
P
(
A
) to cz¦sto±¢ wyst¦powania
zdarze« elementarnych sprzyjaj¡cych zdarzeniu
A
w zbiorze wszystkich zdarze«
elementarnych. Do okre±lania liczno±ci zbiorów stosujemykombinatoryk¦.
Podstawowe wzory kombinatoryczne:
{
i
1
,i
2
,...,i
k
}
- nieuporz¡dkowana
k
-tka elementów zbioru
n
-elementowego (kombi-
nacja).
Ilo±¢nieuporz¡dkowanych
k
-tekbezpowtórze«wynosi
n
k
!
n
!
k
!(
n
−
k
)!
, k
= 0
,
1
,...,n.
=
Ilo±¢nieuporz¡dkowanych
k
-tekzpowtórzeniamiwynosi
n
+
k
−
1
k
!
, k
= 0
,
1
,...
(
i
1
,i
2
,...,i
k
) - uporz¡dkowana
k
-tka elementów zbioru
n
-elementowego (wariacja).
Ilo±¢uporz¡dkowanych
k
-tekbezpowtórze«wynosi
n
!
(
n
−
k
)!
, k
= 0
,
1
,...,n.
(Uporz¡dkowana
n
-ka bez powtórze« zwana jest permutacj¡, ilo±¢ permutacji wynosi
n
!.)
Ilo±¢uporz¡dkowanych
k
-tekzpowtórzeniamiwynosi
n
k
, k
= 0
,
1
,...
Przykładydozad.1.1
4
Przeliczalna przestrze« stanów: =
{
!
1
,!
2
,...
}
- zbiórniesko«czony,przeli-
czalny,
F
= 2
- rodzina wszystkich podzbiorów zbioru ,
ka»de prawdopodobie«stwo
P
mo»na wtedy skonstruowa¢ w nast¦puj¡cy sposób:
1. wybieramy ci¡g liczbowy
p
1
,p
2
,...
spełniaj¡cy warunki
p
i
0 dla ka»dego
i
= 1
,
2
,...,
oraz
Z własno±ci prawdopodobie«stwa mamy wtedy dla dowolnego
A
2F
P
(
A
) =
X
p
i
,
{
i
:
!
i
2
A
}
np. dla
A
=
{
!
3
,!
6
,...
}
mamy
P
(
A
) =
1
P
P
(
{
!
3
k
}
) =
1
P
p
3
k
.
k
=1
k
=1
Przykładydozad.1.2
Nieprzeliczalna przestrze« stanów: - zbiórniesko«czony,nieprzeliczalny,
F
2
, na ogół nie s¡ to wszystkie podzbiory zbioru ,
nie ma prostego przepisu na okre±lenie prawdopodobie«stwa
P
, du»o zale»y od po-
staci zbioru .
Szczególny przypadek -
prawdopodobie«stwogeometryczne
:
3
) to najmniejsza rodzina podzbiorów pro-
stej (płaszczyzny, przestrzeni) o własno±ciach rodziny
F
, która zawiera przedziały
(koła, kule).
2
,
R
R
- zbiór borelowski np. przedział,
F
to podzbiory borelowskie zbioru .
Definiujemy dla
A
2F
P
(
A
) =
długo±¢
A
długo±¢
.
2
- zbiór borelowski,
F
to podzbiory borelowskie zbioru .
Definiujemy dla
A
2F
P
(
A
) =
pole
A
pole
.
3
- zbiór borelowski,
F
to podzbiory borelowskie zbioru .
Definiujemy dla
A
2F
P
(
A
) =
obj¦to±¢
A
obj¦to±¢
.
Przykładydozad.1.3
5
1
P
i
=1
p
i
= 1,
2. definiujemy
P
(
{
!
i
}
) :=
p
i
dla
i
= 1
,
2
,...
.
Def.Zbioryborelowskiew
R
(
R
R
R
[ Pobierz całość w formacie PDF ]