Rzutowe afiniczne i euklidesowe twierdzenia o stożkowych, stz. Prace Magisterskie
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Uniwersytet Warszawski
WydziałMatematyki,InformatykiiMechaniki
Anna Niewiarowska
Nr albumu: 201074
Rzutowe, afiniczne i euklidesowe
twierdzenia o stożkowych
Praca magisterska
na kierunku MATEMATYKA
Praca wykonana pod kierunkiem
dra hab. Marka Kordosa
Instytut Matematyki
Maj 2007
Oświadczenie kierującego pracą
Potwierdzam,żeniniejszapracazostałaprzygotowanapodmoimkierunkiemikwa
lifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego.
Data
Podpis kierującego pracą
Oświadczenie autora (autorów) pracy
Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa
została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób
niezgodny z obowiązującymi przepisami.
Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem pro
cedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni.
Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją
elektroniczną.
Data
Podpis autora (autorów) pracy
Streszczenie
W pracy przedstawiłam różne twierdzenia o stożkowych, które są prawdziwe na płaszczyźnie
rzutowej, afinicznej i euklidesowej. Pokazałam między innymi dowód twierdzenia Pascala,
twierdzenia Brianchona i twierdzenia Ponceleta. Przedstawiłam też zależności między stoż
kowymi rzutowymi, afinicznymi i euklidesowymi.
Słowa kluczowe
stożkowe,geometriarzutowa,geometriaafiniczna,twierdzeniePascala,twierdzenieBriancho
na, twierdzenie Ponceleta
Dziedzina pracy (kody wg programu SocratesErasmus)
11.1 Matematyka
Klasyfikacja tematyczna
51A05 General theory and projective geometries
51E15 A
ne and projective planes
Tytuł pracy w języku angielskim
Projective, a
ne and euclidean theorem about conics
Spis treści
1. Wstęp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Wprowadzenie do geometrii rzutowej
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1. Aksjomaty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Modele płaszczyzny rzutowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1. Płaszczyzna euklidesowa z prostą niewłaściwą . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2. Pęk prostych i płaszczyzn przechodzących przez ustalony punkt w R
3
8
2.3. Podstawowe narzędzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1. Zasada dualności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2. Twierdzenie Desarguesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.3. Czwórka harmoniczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4. Przekształcenia płaszczyzny rzutowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.1. Rzuty i przekształcenia rzutowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.2. Kolineacje i korelacje rzutowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Stożkowe w geometrii rzutowej
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1. Korelacja biegunowa i punkty samosprzężone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Stożkowe i ich podstawowe własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3. Twierdzenie Braikenridge’a MacLaurina, czyli jak wyznaczyć stożkową . . . 21
3.4. Twierdzenie Pascala i twierdzenie Brianchona . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5. Wielkie twierdzenie Ponceleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5.1. Pęki stożkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5.2. Dowód twierdzenia Ponceleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4. Stożkowe w geometrii afinicznej i euklidesowej
. . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1. Stożkowe afiniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.1. Przekształcenia afiniczne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.2. Płaszczyzna afiniczna a płaszczyzna rzutowa . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.3. Stożkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.4. Klasyfikacja stożkowych afinicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2. Stożkowe euklidesowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Bibliografia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]