rama przestrzenna, Budownictwo PCz, Mechanika Teoretyczna
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przykład 5.1. Rama przestrzenna
Wyznaczyć reakcje w ramie przestrzennej o podanym schemacie.
Rozwiązanie.
Uwalniamy układ z więzów wprowadzając odpowiadające im reakcje.
W przekroju A pręta występuje zamocowanie sztywne. Nie znamy sześciu reakcji:
R
Ax
,
R
Ay
,
R
Az
,, M
Ax
,
M
Ay
i
M
Az
. Dla przedstawionej ramy można zapisać sześć warunków równowagi.
Zatem układ jest statycznie wyznaczalny.
Oznaczmy kąty, jakie tworzy linia działania siły
P
(kierunek siły pokrywa się z przekątną
prostopadłościanu) z dodatnimi kierunkami osi
x, y
i
z
odpowiednio przez γ
α ,
β
.
14
a
Cosinusy kierunkowe wynoszą odpowiednio
cos
α
=
a
=
1
14
a
14
cos
β
=
3
a
=
3
14
a
14
cos
γ
=
2
a
=
2
14
a
14
gdzie: a, 3a i 2a - wymiary boków prostopadłościanu o kierunku osi x, y i z odpowiednio,
14 - przekątna prostopadłościanu.
Rozłóżmy siłę
P
na składowe odpowiadające osiom x, y i z.
P
x
= α
P
cos
=
P
1
14
P
y
= β
P
cos
=
P
3
14
P
z
= γ
P
cos
=
P
2
14
2
,
a
Dowolny przestrzenny układ sił
P
znajduje się w równowadze, jeżeli sumy rzutów
wszystkich sił na trzy osie układu są równe zeru i sumy momentów wszystkich sił względem
trzech osi układu są równe zeru:
∑
P
ix
=
0
∑
P
iy
=
0
∑
=
P
iz
0
∑
M
ix
=
0
∑
M
iy
=
0
∑
M
iz
=
0
Linia działania siły
P
przechodzi przez punkt A. Zatem moment siły
P
względem punktu A
jest równy zeru. Rzuty tego wektora na osie
x, y
i
z
(czyli momenty siły
P
względem osi
x, y
i
z
) tzn. momenty:
M
Ax
, M
Ay
i
M
Az
też są równe zero. Pozostają do znalezienia nieznane reakcje
R
Ax
, R
Ay
i
R
Az
.
Zapisujemy warunki równowagi.
∑
ix
=
0
−
P
1
+
R
=
0
→
R
Ax
=
P
1
14
Ax
14
∑
iy
=
0
−
P
3
+
R
=
0
→
R
Ay
=
P
3
14
Ay
14
∑
iz
=
0
P
2
+
R
=
0
→
R
Az
=
−
P
2
14
Az
14
Znak minus oznacza, że zwrot wektora siły
R
Az
jest przeciwny do założonego. Momentowe
warunki równowagi są spełnione tożsamościowo.
W celu sprawdzenia poprawności obliczeń korzystamy z warunku równowagi, z którego nie
korzystaliśmy poprzednio
∑
iz
1
=
0
−
R
⋅
a
+
R
⋅
3 =
a
0
→
−
P
3
a
+
P
3
=
0
Ay
Ax
14
14
Odp.
P
3
P
1
14
14
P
2
14
3
P
P
P
M
[ Pobierz całość w formacie PDF ]