Rachunek macierzowy, Budownictwo Łódź, Matematyka I
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
I. RACHUNEK MACIERZOWY
UKŁADY RÓWNA
İ
LINIOWYCH.
®
przyporz
Ģ
dkowuj
Ģ
c
Ģ
uporz
Ģ
dkowanej parze liczb naturalnych (i,k)
liczb
ħ
rzeczywist
Ģ
a
jk
tak
Ģ
,
Ň
e f(i,k) = a
ik
, nazywamy
macierz
Ģ
prostok
Ģ
tn
Ģ
.
Je
Ň
eli n = m, to macierz nazywamy
kwadratow
Ģ
stopnia n
.
Macierze oznacza
ę
b
ħ
dziemy du
Ň
ymi literami A,B,... i zapisywa
ę
w sposób nast
ħ
puj
Ģ
cy:
Ç
a
11
a
12
...
a
1
m
a
21
a
22
...
a
2
m
... ... ... ...
a
n
1
a
n
2
...
a
nm
Ø
È
È
Ø
A
=
È
Ø
=
[
a
ik
]
1 £
i
£
n
1 £
k
£
m
=
[
a
ik
]
n
x
m
(1.1)
È
Ø
É
Ù
Ë
i
−
indeks wierszy
Ú
Û
.
k
−
indeks kolumn
Liczby a
ik
nazywamy
elementami macierzy
;
elementy
nazywamy
elementami i-tego wiersza
,
a
1
k
,
a
2
k
, ...,
a
nk
nazywamy
elementami k-tej kolumny
macierzy
A
.
a
11
,
a
22
, ...,
a
nn
elementami jej
głównej przek
Ģ
tnej
.
Macierz kwadratowa której elementy głównej przek
Ģ
tnej s
Ģ
równe 1,
za
Ļ
pozostałe równe 0, nazywamy
macierz
Ģ
jednostkow
Ģ
, któr
Ģ
oznaczamy przez
IIII
.
Macierz, której wszystkie elementy s
Ģ
równe 0 nazywamy
macierz
Ģ
zerow
Ģ
Q
.
Macierz, któr
Ģ
uzyskujemy z macierzy
A
przez zamian
ħ
jej wierszy na kolumny
z zachowaniem ich kolejno
Ļ
ci, nazywamy
macierz
Ģ
transponowan
Ģ
do
A
i oznaczamy symbolem
A
T
.
macierzy kwadratowej
stopnia n
nazywamy
Def. 1.2. Działania na macierzach
.
Niech
A
=
[
a
ik
]
n
x
m
,
B
=
[
b
ik
]
n
x
m
,
C
=
[
c
ik
]
n
x
m
,
(1.2)
A = B
Û
a
ik
=
b
ik
dla
1 £
i
£
n
, 1 £
k
£
m
,
(1.3)
A B = C
A
±
B = C
, gdzie c
ik
= a
ik
±
b
ik
dla
1 £
i
£
n
, 1 £
k
£
m
,
(1.4)
a
×
A
A
=
a ×
[
a
ik
]
n
x
m
=
[
a ×
a
ik
]
n
x
m
, dla
a Î
R
.
(1.5)
Niech
A
=
[
a
ij
]
n
x
p
,
B
=
[
b
jk
]
p
x
m
,
C
=
[
c
ik
]
n
x
m
Iloczynem macierzy
A
A
i
B
B
nazywamy macierz
C
tak
Ģ
,
Ň
e
A
nxp
B
pxm
= C
×
= C
nxm
p
S
a
is
b
sk
gdzie
c
ik
=
a
i
1
b
1
k
+
a
i
2
b
2
k
+ ...
a
ip
b
pk
=
(1.6)
s
=1
Uwaga.
Mno
Ň
enie dwóch macierzy
A
przez
B
jest wykonalne jedynie wtedy,
gdy liczba kolumn macierzy
A
jest równa liczbie wierszy macierzy
B
.
Jednocze
Ļ
nie w ogólno
Ļ
ci
A
A B
×
¹
×
B B
B A.
A.
(1.7)
Def. 1.1.
Macierz
Funkcj
ħ
f : (i,k) R, dla i = 1,2,3,...,n, k = 1,2,3,..., m
È
×
Ø
Ê
a
i
1
,
a
i
2
, ...,
a
im
natomiast elementy
Elementy
AA
B = C
AA
AA
BB
= C
AA
B
B
B
2
Przy zało
Ň
eniu,
Ň
e poni
Ň
sze działania s
Ģ
wykonalne prawdziwe s
Ģ
nast
ħ
puj
Ģ
ce równo
Ļ
ci:
A+ B
B = B
B+ A
A
(A
A + B
B) + C
C = A
A + (B
B + C
C)
A
× ×
B) C
C = A
A (B
× ×
B C
C)
A + O
O = A
A
A O
×
O = O
O,
O A
×
A = O
O , I
I A
×
A = A
A I
×
I = A .
A .
Def. 1.3.
Wyznacznik macierzy
.
Liczb
ħ
W, przyporz
Ģ
dkowan
Ģ
ka
Ň
dej
macierzy kwadratowej
A
w sposób
nast
ħ
puj
Ģ
cy:
1
0
W a
11
df
=
gdy
A
=
[
a
11
]
1
x
1
2
0
W
df
=
a
11
a
12
a
21
a
22
=
a
11
a
22
-a
12
a
21
,
gdy
A
=
È
a
11
a
12
×
Ø
a
21
a
22
2
x
2
2
x
2
3
0
W
df
=
a
11
a
12
...
a
1
n
a
21
a
22
...
a
2
n
... ... ... ...
a
n
1
a
n
2
...
a
nn
=
n
x
n
=
n
S
a
ik
×
A
i
*
=
n
S
(−1)
i
+
k
×
a
ik
×
A
ik
=
i
=1
i
=1
(1.8)
n
S
n
S
(−1)
i
+
k
×
a
ik
×
A
ik
=
a
ik
×
A
i
*
=
,
k
=1
k
=1
Ç
a
11
a
12
...
a
1
n
a
21
a
22
...
a
2
n
... ... ... ...
a
n
1
a
n
2
...
a
nn
×
È
È
Ø
Ø
gdy
A
=
È
Ø
,
È
Ø
É
Ù
A
ik
przez skre
Ļ
lenie i-tego wiersza i k-tej kolumny,
nazywamy wyznacznikiem macierzy
jest podwyznacznikiem
powstałym z wyznacznika W
A
i oznaczamy symbolem |
A
| lub det
A
.
Wyra
Ň
enie
A
i
*
= (−1)
i
+
k
×
A
ik
nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a
ik
.
Podstawowe własno
Ļ
ci wyznaczników.
1
0
.
Przestawienie (transponowanie) wszystkich wierszy macierzy na miejsce
kolumn ( i-ty wiersz na miejsce i-tej kolumny) nie zmienia warto
Ļ
ci
wyznacznika.
2
0
.
Je
Ň
eli elementy dowolnego wiersza lub kolumny pomno
Ň
ymy przez liczb
ħ
,
l
to wyznacznik tej macierzy zostanie pomno
Ň
ony przez t
ħ
liczb
ħ
.
3
0
.
Je
Ň
eli w macierzy ka
Ň
dy element pewnego wiersza lub kolumny jest równy 0,
to wyznacznik tej macierzy jest równy 0.
4
0
.
Je
Ň
eli do elementów ustalonego wiersza lub kolumny dodamy dowoln
Ģ
kombinacj
ħ
liniow
Ģ
pozostałych wierszy lub kolumn, to warto
Ļę
wyznacznika
nie ulegnie zmianie.
5
0
.
Je
Ň
eli w wyznaczniku przestawimy dwa dowolne wiersze lub kolumny,
to warto
Ļę
wyznacznika zmieni si
ħ
na przeciwn
Ģ
.
B
B
AA
B
C
A
BB
C
AA
(A
C
A
BB
C
C
AA
A
O
AA
A
O
O
OO
O
A
O
II
A
A
I
Ç
È
Ø
za
Ļ
3
¹
Macierz
Ģ
odwrotn
Ģ
macierzy nieosobliwej
nazywamy macierz
A
nazywamy n
ieosobliw
Ģ
, gdy det
A
0.
A
-1
tak
Ģ
,
Ň
e
A
×
A
-1
-1
= A
= A
-1
-1
A = I
×
A = I
(1.9)
Tw.
1.1.
Dla dowolnej macierzy nieosobliwej A istnieje dokładnie jedna macierz odwrotna
A
−1
=
det
A
× [
A
i
*
1
]
T
(1.10)
[
A
i
*
]
T
=
[
(−1)
i
+
k
A
i k
]
T
elementów a
i k
macierzy A.
Tw.
1.2.
Je
Ň
eli
jest transponowan
Ģ
macierz
Ģ
dopełnie
ı
algebraicznych
A
i
B
s
Ģ
macierzami kwadratowymi tego samego stopnia,
to
det (
A
A
×
B
) = (det
A
) (det
B
) = (det
B
) (det
A
),
(1.11)
(
A B
×
B
)
-1
= (
B
)
-1
(
×
A
)
-1
.
Tw.1.3.
Dla macierzy A
nxm
i B
mxk
mamy tak
Ň
e:
(
A B
×
B
)
T
= (
B
)
T
(
×
A
)
T
.
A
b
ħ
dzie macierz
Ģ
prostok
Ģ
tn
Ģ
wymiaru n x m.
Pomijaj
Ģ
c pewne wiersze i kolumny macierzy
A
utworzy
ę
okre
Ļ
lon
Ģ
liczb
ħ
macierzy kwadratowych stopnia k dla 1£
k
£ min(
n
,
m
).
Najwy
Ň
szy ze stopni macierzy kwadratowych nieosobliwych wybranych
z macierzy
A
mo
Ň
emy z macierzy
A
nazywamy
rz
ħ
dem
macierzy
A
i oznaczamy R(
A
).
Podstawowe własno
Ļ
ci rz
ħ
du macierzy.
1
0
.
Przestawienie (transponowanie) wszystkich wierszy macierzy na miejsce
kolumn ( i-ty wiersz na miejsce i-tej kolumny) nie zmienia warto
Ļ
ci
rz
ħ
du macierzy.
2
0
.
Je
Ň
eli elementy dowolnego wiersza lub kolumny pomno
Ň
ymy
przez liczb
ħ
l ¹ 0
, to rz
Ģ
d tej macierzy nie zmieni si
ħ
.
3
0
.
Je
Ň
eli do elementów ustalonego wiersza lub kolumny dodamy dowoln
Ģ
kombinacj
ħ
liniow
Ģ
pozostałych wierszy lub kolumn, to rz
Ģ
d macierzy
nie ulegnie zmianie.
4
0
.
Je
Ň
eli w macierzy pominiemy dowolny z dwóch identycznych wierszy
lub kolumn, to warto
Ļę
rz
ħ
du macierzy nie zmieni si
ħ
.
5
0
.
Je
Ň
eli w macierzy pominiemy wiersz lub kolumn
ħ
zło
Ň
on
Ģ
z samych zer,
to warto
Ļę
rz
ħ
du macierzy nie zmieni si
ħ
.
Def. 1.4.
Macierz odwrotna.
Macierz
kwadratow
Ģ
--1
-1
= A
gdzie
AA
×
×
B
B
B
B
Def. 1.5. Rz
Ģ
d macierzy.
Niech
4
Układy równa
ı
liniowych.
Def. 1.6. Układem m równa
ı
liniowych o n niewiadomych x
1
,x
2
, x
3
, ..., x
n
nazywamy układ
Ê
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+ ... +
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+ ... +
a
2
n
x
n
=
b
2
... ... ... ...
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+ ... +
a
mn
x
n
=
b
m
Ú
Í
Í
Í
Í
Í
Í
Ë
Û
(1.12)
Í
Í
Ì
Ü
gdzie współczynniki a
ik
s
Ģ
elementami
macierzy współczynników
Ç
a
11
a
12
...
a
1
n
a
21
a
22
...
a
2
n
... ... ... ...
a
m
1
a
m
2
...
a
mn
×
È
È
Ø
Ø
A
m x n
=
È
Ø
,
(1.13)
È
Ø
É
Ù
za
Ļ
b
i
elementami
macierzy wyrazów wolnych
Ç
b
1
b
2
...
b
m
×
È
È
Ø
Ø
B
m x 1
=
È
Ø
.
(1.14)
È
Ø
É
Ù
Def. 1.7. Rozwi
Ģ
zaniem układu (1.12)
nazywamy dowolny układ n liczb x
1
, x
2
, x
3
, ..., x
n
spełniaj
Ģ
cych
wszystkie równania układu (1.12).
Układ (1.12) nazywamy
sprzecznym
,
gdy nie posiada
Ň
adnego rozwi
Ģ
zania.
Układ (1.12) nazywamy
oznaczonym,
gdy posiada dokładnie jedno rozwi
Ģ
zanie,
za
Ļ
nieoznaczonym
, gdy posiada niesko
ı
czenie wiele rozwi
Ģ
za
ı
.
Macierz utworzon
Ģ
z elementów macierzy
A
oraz
B
Ç
a
11
a
12
...
a
1
n
a
21
a
22
...
a
2
n
... ... ... ...
a
m
1
a
m
2
...
a
mn
b
1
b
2
...
b
m
×
È
Ø
È
È
Ø
Ø
È
Ø
=
A
B
È
Ø
É
Ù
nazywamy
macierz
Ģ
rozszerzon
Ģ
układu (1.12).
Układ n-równa
ı
o n-niewiadomych (Cramera).
Tw. 1.4.
(Cramera)
Załó
Ň
my,
Ň
e m = n, tzn. liczba równa
ı
układu (1) jest równa
liczbie niewiadomych.
Je
Ň
eli wyznacznik |
A
| macierzy współczynników układu (1) jest ró
Ň
ny od zera,
È
Ø
È
Ø
5
¹
i jest ono okre
Ļ
lone wzorami Cramera:
W
x
1
A
W
x
2
A
W
x
3
A
W
x
n
A
x
1
=
x
2
=
x
3
=
, . . . ,
x
n
=
,
(1.15)
gdzie
W
x
i
przez zast
Ģ
pienie i-tej kolumny kolumn
Ģ
wyrazów wolnych
A
Układ m-równa
ı
o n-niewiadomych.
B
.
Tw. 1.5. (Kroneckera - Capelli'ego)
Układ (1) m równa
ı
liniowych o n niewiadomych posiada rozwi
Ģ
zanie
wtedy i tylko wtedy, gdy rz
ħ
dy macierzy
A
współczynników układu
oraz macierzy rozszerzonej
A
B
s
Ģ
równe, czyli
R (
A
) = R (
A
B
) = r,
przy czym
1) je
Ň
eli r = n, to układ posiada dokładnie jedno rozwi
Ģ
zanie
okre
Ļ
lone wzorami Cramera,
2) je
Ň
eli r < n czyli liczby niewiadomych, to układ ma niesko
ı
czenie wiele rozwi
Ģ
za
ı
zale
Ň
nych od n - r parametrów,
3) je
Ň
eli za
Ļ
R(
A
) R(
¹
A
B
), to układ jest sprzeczny.
Przykład.
Wyznacz macierz odwrotn
Ģ
macierzy
È
È
2 0 0
1 0 1
−2 −1 2
Ø
Ø
A
=
.
É
Ù
O
bliczmy wyznacznik
det(
A
) = 2 × (−1)
1+1
×
0 1
−1 2
= 2 × 1 = 2.
Wyznaczmy transponowan
Ģ
macierz dopełnie
ı
algebraicznych macierzy
A
:
Ç
(−1)
1+1
0 1
−1 2
×
T
(−1)
1+2
4
(−1)
1+3
(−1)
È
Ø
È
Ø
È
È
Ø
Ø
[
(−1)
i
+
k
A
ik
]
T
=
È
−
0 0
−1 2
2 0
−2 2
2
Ø
=
È
Ø
È
Ø
É
+
0
− 2
+ 0
Ù
Ç
1 −4 −1
0 4 2
0 −2 0
×
T
Ç
1 0 0
−4 4 −2
−1 2 0
×
È
È
Ø
Ø
È
È
Ø
Ø
=
=
.
É
Ù
É
Ù
Zatem macierz odwrotna do
A
jest postaci:
Ç
1 0 0
−4 4 −2
−1 2 0
×
Ç
2
0 0
−2 2 −1
−
2
×
È
È
Ø
È
È
Ø
Ø
A
-1
=
1
2
Ø
=
.
1 0
É
Ù
É
Ù
(
|A|
|A|
|A|
0), to układ ten posiada dokładnie jedno rozwi
Ģ
zanie
, i=1,2,3,...n , oznacza wyznacznik powstały z wyznacznika macierzy
Ç
×
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]