Rachunek rozniczkowy, budownictow, matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1Ilorazró»nicowy
Niech
x
0
2
Riniechfunkcja
y
=
f
(
x
)b¦dzieokre±lonawpewnymotoczeniupunktu
x
0
.
Niech
x
oznaczaprzyrostargumentu
x
(mo»eby¢ujemny!).Wtedyprzyrostwarto±ci
funkcjiwynosi:
y
=
f
(
x
+
x
)
−
f
(
x
)
.
Ilorazemró»nicowym
funkcji
f
wpunkcie
x
0
odpowiadaj¡cymprzyrostowiargumentu
x
nazywamy:
x
=
f
(
x
+
x
)
−
f
(
x
)
x
.
Przykład
Obliczy¢ilorazyró»nicowedlanast¦puj¡cychdanych:
a)
f
(
x
)=
x
2
,
x
0
=
−
1,
x
=0
,
1;b)
f
(
x
)=log
x
,
x
0
=1,
x
=
−
0
,
9.
Ilorazró»nicowymaprost¡interpretacj¦geometryczn¡.Je±liprzezdwapunkty(
x
0
,f
(
x
0
)),
(
x
0
+
x,f
(
x
0
+
x
)nale»¡cedowykresufunkcji
y
=
f
(
x
)poprowadzimyprost¡(na-
zywamyj¡
sieczn¡
wykresufunkcji),toilorazró»nicowyjestrównytangensowijejk¡ta
nachyleniadoosi
Ox
.Krócej:ilorazró»nicowyjestwspółczynnikiemkierunkowymsiecz-
nej.
2Pochodna
Definicja1
Niechx
0
2
R
iniechfunkcjay
=
f
(
x
)
b¦dzieokre±lonawpewnymotoczeniu
punktux
0
.
Pochodn¡funkcji
f
wpunkcie
x
0
nazywamygranic¦:
f
0
(
x
0
)=lim
x
!
0
f
(
x
+
x
)
−
f
(
x
)
x
.
dx
(
x
0
),lub
Df
(
x
0
).
Przykład
Obliczy¢zdefinicjipochodn¡:a)
f
(
x
)=
x
2
,x
0
2
R;b)
f
(
x
)=sin
x,x
0
2
R.
Pochodnewa»niejszychfunkcjielementarnych
(
c
)
0
=0
(
x
)
0
=
x
−
1
,
gdzie
2
R
\
Z
(sin
x
)
0
=cos
x
(cos
x
)
0
=sin
x
(tg
x
)
0
=
1
sin
2
x
=
−
1
−
ctg
2
x
(
a
x
)
0
=
a
x
ln
a
gdzie0
<a
6
=1
(
e
x
)
0
=
e
x
(log
a
x
)
0
=
1
x
ln
a
(ln
x
)
0
=
1
x
1
y
Liczb¦t¦oznaczamy
y
0
(
x
0
),
df
dx
(
x
0
),
dy
cos
2
x
=1+tg
2
x
(ctg
x
)
0
=
−
1
1
−
x
2
(arccos
x
)
0
=
−
1
p
p
1
−
x
2
(arctg
x
)
0
=
1
1+
x
2
(arcctg
x
)
0
=
−
1
1+
x
2
(sinh
x
)
0
=cosh
x
(cosh
x
)
0
=sinh
x
(tgh
x
)
0
=
1
cosh
2
x
(ctgh
x
)
0
=
−
1
sinh
2
x
Twierdzenie1(opochodnejsumy,ró»nicy,iloczynuiilorazu)
Je»elifunkcjef
igmaj¡pochodnewpunkciex
0
,to
1.
(
f
+
g
)
0
(
x
0
)=
f
0
(
x
0
)+
g
0
(
x
0
)
;
2.
(
f
−
g
)
0
(
x
0
)=
f
0
(
x
0
)
−
g
0
(
x
0
)
;
3.
(
cf
)
0
(
x
0
)=
cf
0
(
x
0
)
,gdziec
2
R
;
4.
(
fg
)
0
(
x
0
)=
f
0
(
x
0
)
g
(
x
0
)+
f
(
x
0
)
g
0
(
x
0
)
;
5.
f
g
g
2
(
x
0
,oileg
(
x
0
)
6
=0
.
Interpretacjageometrycznapochodnej
Poniewa»:
—ilorazró»nicowyjestwspółczynnikiemkierunkowymsiecznej;
—siecznad¡»ydostycznejdowykresufunkcjiwpunkcie
x
0
(gdy
x
!
0);
wi¦cmamywniosek:
Pochodnafunkcjiwpunkciex
0
jestwspółczynnikiemkierunkowymstycznejdowykresu
funkcjiwtympunkcie.
Zatemrównaniestycznejdowykresufunkcji
y
=
f
(
x
)wpunkcie
x
0
maposta¢:
y
=
f
(
x
0
)+
f
0
(
x
0
)(
x
−
x
0
)
.
2)
y
=
4
p
x,
(16
,
2).
Zzagadnieniemwyznaczaniastycznejwi¡»esi¦obliczaniek¡tami¦dzykrzywymi.Przez
k¡tprzeci¦ciakrzywych
rozumiemyk¡tostry
'
,jakitworz¡stycznedotychkrzywych
2
(arcsin
x
)
0
=
1
0
(
x
0
)=
f
0
(
x
0
)
g
(
x
0
−
f
(
x
0
)
g
0
(
x
0
)
Przykłady
Napisa¢równaniastycznychdowykresówpodanychfunkcjiwewskazanych
punktach:
1)
y
=c
os
x,
(
/
2
,
0);
wpunkcieichprzeci¦cia.Niechkrzywe
y
=
f
(
x
)i
y
=
g
(
x
)przecinaj¡si¦wpunkcie
(
x
0
,y
0
).Je±li
,
oznaczaj¡k¡tyjakietworz¡stycznedotychkrzywych(wpunkcie
(
x
0
,y
0
))zosi¡
Ox
,tozewzorunatangensró»nicyk¡tówmamy:
tg(
−
)=
tg
−
tg
1+tg
tg
,
Pouwzgl¦dnieniu,»etg
=
f
0
(
x
0
),tg
=
g
0
(
x
0
)otrzymamywzór:
tg
'
=
f
0
(
x
0
)
−
g
0
(
x
0
1+
f
0
(
x
0
)
g
0
(
x
0
.
Warto±¢bezwzgl¦dnadajepewno±¢,»ewyznaczoneztegowzoru
'
b¦dziemiar¡k¡ta
ostrego.
Przykłady
Obliczy¢k¡typrzeci¦ciakrzywych:
a)
f
(
x
)=2
x
,
g
(
x
)=4
x
;b)
f
(
x
)=
x
2
,
g
(
x
)=
x
3
.
Interpretacjafizycznapochodnej
t
jestpr¦dko±ci¡±redni¡.Granicategoilorazu(awi¦cpochodna
s
0
(
t
0
))
jestpr¦dko±ci¡chwilow¡wmomencie
t
0
.
Ogólniej,wzastosowaniachfizycznychpochodnapojawiasi¦wtedy,gdymamydoczy-
nieniazezmian¡jakiej±wielko±ci.Je»elit¦zmian¦potrafimywyrazi¢jakofunkcj¦czasu,
topochodn¡tejfunkcjiinterpretujemyjakopr¦dko±¢zmiany.Wy»ejmieli±mydrog¦ja-
kofunkcj¦czasu—pochodnajestwtedypr¦dko±ci¡ruchu.Je»elimieliby±mypr¦dko±¢
v
(
t
)jakofunkcj¦czasu,topochodnabyłabyprzyspieszeniemruchu.Gdy
Q
(
t
)oznacza
ilo±¢ładunkuelektrycznegoprzepływaj¡cegoprzezprzewodnikwczasie
t
,to
Q
0
(
t
)jest
nat¦»eniempr¡du
i
(
t
),i.t.d.
Przykład
Ropazuszkodzonegotankowcawyciekazestał¡pr¦dko±ci¡
V
=10
m
3
min
itwo-
rzyplam¦kołow¡ogrubo±ci
d
=2mm.Obliczy¢zjak¡pr¦dko±ci¡b¦dziepowi¦kszała
si¦±rednicaplamyropywchwili,gdyb¦dziemiała±rednic¦
D
=1000m.
Twierdzenie2(opochodnejfunkcjizło»onej)
Je»eli
1.funkcjafmapochodn¡wpunkciex
0
,
2.funkcjagmapochodn¡wpunkcief
(
x
0
)
,
to
(
g
f
)(
x
0
)=
g
0
(
f
(
x
0
))
f
0
(
x
0
)
.
Przykłady
1.
y
=
3
p
x
+cos
x
;
2.
y
=(3
x
3
+2cos
3
x
)
4
;
3.
q
y
=
tg(2
x
−
3
x
2
)
.
3
Załó»my,»epunktmaterialnyporuszasi¦prostoliniowo,idrogaprzebytawczasie
t
wynosi
s
(
t
).Przyrostdrogiodczasu
t
0
doczasu
t
0
+
t
wynosi
s
(
t
0
+
t
)
−
s
(
t
0
),a
iloraz
s
(
t
0
+
t
)
−
s
(
t
0
)
Twierdzenie3(opochodnejfunkcjiodwrotnej)
Je»eli
1.funkcjafjestci¡głai±ci±lemonotonicznanaotoczeniuO
(
x
0
)
punktux
0
,
2.funkcjafmapochodn¡f
0
(
x
0
)
6
=0
,
to
(
f
−
1
)
0
(
y
0
)=
1
f
0
(
x
0
)
,
gdzie
y
0
=
f
(
x
0
)
.
Przykład
Uzasadni¢wzór
(arcsin
x
)
0
=
1
1
−
x
2
.
Pochodnalogarytmiczna
p
Je»elifunkcja
y
=ln
f
(
x
)jestró»niczkowalna,tojejpochodn¡nazywamy
pochodn¡
logarytmiczn¡
funkcji
f
.Mamy
(ln
f
(
x
))
0
=
f
0
(
x
)
f
(
x
)
,
f
0
(
x
)=
f
(
x
)
·
(ln
f
(
x
))
0
.
Tenostatniwzórstosujemy,gdypochodnalogarytmicznajestłatwiejszadoobliczeniani»
”zwykła”,tj.gdymamyskomplikowanyiloczyn(któryprzezlogarytmowaniezamienia
sienasum¦)lubpot¦g¦,wktórej
x
wyst¦pujeiwliczniku,iwmianowniku(iwtedynie
ma»adnychbezpo±rednichwzorównapochodne).
Przykłady
1.
f
(
x
)=4
x
(
x
2
+1)sin
x
cos
4
x
;
2.
f
(
x
)=
x
x
.
Wprzykładzie2mo»narównie»zastosowa¢wzór:
f
(
x
)
g
(
x
)
=
e
g
(
x
)ln
f
(
x
)
.
3Ró»niczka
Definicja2
Niechfunkcjaf
(
x
)
mapochodn¡wpunkciex
0
.
Ró»niczk¡
funkcjifw
punkciex
0
nazywamyfunkcj¦dfzmiennej
x
=
x
−
x
0
okre±lon¡wzorem
df
(
x
)=
f
0
(
x
0
)
x.
Ró»niczk¦oznaczamyte»symbolem
dy
.
Uwaga.
Przyjmujemy
dx
=
x
,wi¦cwzórpowy»szymo»nazapisa¢tak»e:
df
(
x
)=
f
0
(
x
0
)
dx.
Przyrost
y
=
f
(
x
0
+
x
)
−
f
(
x
0
)niejestrównyró»niczce
dy
.Aleró»nicami¦dzy
przyrostemaró»niczk¡jestniewielkadlamałych
x
,anawetmo»nawykaza¢,»ed¡»y
szybciejdozerani»
x
(tzn.np.je±li
x
jestrz¦dusetnych,toró»nica
y
−
dy
jest
rz¦dutysi¡cznych.
Przykład
Obliczy¢przyrostiró»niczk¦funkcji
y
=
x
3
wpunkcie
x
0
=2dla
x
=0
,
4.
(Odp.:
y
=5
,
824)
(Gdy
x
=0
,
04,to
y
=0
,
4897,
dy
=0
,
48).
4
wi¦c
Zastosowanieró»niczkidooblicze«przybli»onych
iszacowaniabł¦dówpomiarów
Je»elifunkcja
f
mapochodn¡wpunkcie
x
0
,to
f
(
x
0
+
x
)
f
(
x
0
)+
f
0
(
x
0
)
x.
Ponadtobł¡djakipopełniamyzast¦puj¡cprzyrost
f
ró»niczk¡
df
d¡»yszybciejdo
zerani»
x
,tzn.
f
−
df
x
=0
.
Przykład
Obliczy¢przypomocyró»niczkiln1
,
004.
Przypu±¢myteraz,»ewielko±¢fizyczna
y
jestfunkcj¡innejwielko±ci
x
,któr¡jeste±my
wstaniezmierzy¢:
y
=
f
(
x
).Pomiarjestzawszezwi¡zanyzpewnymbł¦dem,inale»y
oszacowa¢jakwpływaonnabł¡doblicze«wielko±ci
y
.Je»elibł¡dbezwzgl¦dnypomiaru
wynosi
x
,tobł¡dbezwzgl¦dnyobliczanejwielko±ci
y
wyra»asi¦wzorem:
lim
x
!
0
y
|
f
0
(
x
0
)
|
x
.
Poobliczeniubł¦dówbezwzgl¦dnychmo»naobliczy¢bł¦dywzgl¦dne:
x
=
x
x
,
y
=
y
y
.
Bł¦dywzgl¦dnewyra»amynajcz¦±ciejwprocentach.
Przykład
Kraw¦d¹sze±cianuzmierzonozdokładno±ci¡
±
1mmiotrzymano125mm.
Zjak¡dokładno±ci¡mo»naobliczy¢polepowierzchnicałkowitejsze±cianu,azjak¡jego
obj¦to±¢?Poda¢bł¦dybezwzgl¦dneiwzgl¦dne.
4Pochodnewy»szychrz¦dów
(sin
x
)
0
=cos
x
=sin(
x
+
/
2)
,
(sin
x
)
00
=(cos
x
)
0
=
−
sin
x
=sin(
x
+
)
,
(sin
x
)
000
=(
−
sin
x
)
0
=
−
cos
x
=sin(
x
+3
/
2)
,
(sin
x
)
IV
=(
−
cos
x
)
0
=sin
x
=sin(
x
+2
)
,
i.t.d.Odgadujemyst¡dwzór:
(sin
x
)
(
n
)
=sin(
x
+
n/
2)
.
Formalnydowódwzorumo»nauzyska¢stosuj¡cindukcj¦matematyczn¡.
Podobniemo»nauzyska¢wzory:
(cos
x
)
(
n
)
=cos(
x
+
n/
2)
,
5
Pochodn¡rz¦du
n
definiujemyindukcyjnie:
y
(
n
)
=(
y
(
n
−
1)
)
0
dla
n
=2
,
3
,
4
,...
.
Przyjmujesi¦tak»eoznaczenie
y
0
=
y
(”pochodna”rz¦du0jestrównafunkcji).
Dlapochodnychniewielkichrz¦dówmo»napisa¢:
y
00
,
y
000
,
y
IV
,
y
V
,
y
VI
,i.t.d.
Przykład
Obliczy¢(sin
x
)
(
n
)
.
Obliczamykolejno:
[ Pobierz całość w formacie PDF ]