Rachunek rozniczkowy funkcji dwoch zmiennych, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rachunek różniczkowy funkcji
dwóch zmiennych
Pojęcie funkcji dwóch zmiennych
Odwzorowanie
f
, przyporządkowujące każdemu punktowi
yx
,
R
A
2
dokładnie jedną
liczbę rzeczywistą
xf
, , nazywamy funkcją rzeczywistą dwóch zmiennych. Zbiór
A
y
nazywamy dziedziną funkcji
f
.
Jeżeli funkcja zadana jest tylko przy pomocy wzoru (bez podania dziedziny), to
dziedziną
naturalną
f
R
, dla których wzór ma sens (
D
funkcji jest zbiór tych punktów
2
xf
,
R
).
y
Przykład 1
Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji:
f
x
4,
y
y
x
2
2
.
Rozwiązanie:
Dziedziną naturalną funkcji jest zbiór tych par
x
, , dla których wyrażenie pod
y
pierwiastkiem jest nieujemne, czyli dla których
4
2
yx
.
2
0
Przepisując tę nierówność w postaci
yx
2
2
4
otrzymujemy
4
D
f
y
x
,
y
R
2
:
x
2
2
.
Dziedziną naturalną funkcji jest zatem wnętrze koła o promieniu 2 i środku w punkcie (0,0).
Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych
xf
, będzie określona w otoczeniu punktu
Niech funkcja
y
yx
0
, .
Pochodną
D
0
f
cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem
x
w
0
,
yx
definiujemy wzorem
0
f
x
h
,
y
f
x
,
y
f
x
,
y
lim
.
0
0
0
0
0
0
x
h
h
0
Analogicznie określamy
pochodną cząstkową pierwszego rzędu względem y
:
f
f
x
,
y
h
f
x
,
y
x
,
y
lim
.
0
0
0
0
0
0
y
h
h
0
Stosujemy też nazwy –
pierwsze pochodne cząstkowe po
x
i
y
i oznaczenia:
x
f
.
'
,
y
'
Przykład 2
Obliczyć obie pochodne cząstkowe funkcji
xf
,
xy
y
2
w punkcie
1,2 .
Rozwiązanie:
f
f
2
h
1,
f
1,2
2
h
1
2
2
1
2
h
1,2
lim
lim
lim
1
,
x
h
h
h
h
0
h
0
h
0
2
f
f
1,2
h
f
1,2
2
1
h
2
1
2
1,2
lim
lim
y
h
h
h
0
h
0
2
4
h
2
h
2
2
.4
lim
lim
4
2
h
h
h
0
h
0
[ Pobierz całość w formacie PDF ]