Rachunek - calka oznaczona, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Całkaoznaczona
1.Zapomoc¡definicjiobliczy¢całk¦
Z
3
−2
x
2
dx; (b)
Z
1
0
x
3
dx; (c)
Z
2
0
cosxdx.
(a)
2.Obliczy¢całki
Z
p
3
p
dx
1+x
2
, (b)
Z
2
(a)
|1−x|dx,
3
3
0
Z
4
Z
5
q
xdx
p
1+3x
,
(c)
1−cos(2x)dx, (d)
0
0
Z
1
x
2
dx
(x+1)
4
, (f)
Z
2
0
sin
2
xcosxdx,
(e)
0
(g)
Z
2
0
xsinxdx, (h)
Z
2
p
1+sinx
dx,
cosx
0
Z
2
1
x(x
2
+1)e
x
2
dx, (j)
Z
−1
−2
x
2
e
−2x
dx,
(i)
Odpowiedzi(a)
6
,(b)1,(c)4,(d)4,(e)
1
24
,(f)
1
3
,(g)1,(h)
1
2
(
p
2−1),
(i)2e
4
−
1
2
e,(j)
1
4
e
2
(5e
2
−1).
3.Przypomocydefinicjicałkioznaczonejznale¹¢granice
(a)lim
n!1
1
n+1
+
1
n+2
+...+
1
,
n+n
!
1
n
sin
n
+sin
2
n
+...+sin
(n−1)
(b)lim
n!1
n
.
3.Obliczy¢granice
R
x
0
cost
2
dt
(a)lim
x!0
x
;
R
x
0
e
t
2
dt
2
R
x
(b)lim
x!1
0
e
2t
2
dt
;
p
R
sinx
0
t
ant
dt
(c)lim
x!0
+
R
tanx
0
p
sintdt
.
4.Wyznaczy¢ekstremafunkcji
x7!
Z
x
0
e
u
2
(u
2
−3u+2)du.
5.Niechf2C([0,+1))bedziefunkcj¡rosnac¡naprzedziale[0,+1).Poka-
za¢,»e
g(x):=
1
x
Z
x
0
f(u)du,x>0
jestrosn¡cana(0,+1).
6*.Znale¹¢funkcjef2C([0,+1))spełniaj¡cewarunek
8
x>0
sin
Z
x
0
f(u)du
=
x
1+x
.
(wskazówka:zró»niczkowa¢obustronniepowy»sz¡równo±¢.)
7.Napodstawietwierdzeniaowarto±ci±redniejpoda¢ocen¦warto±cinast¦-
puj¡cychcałek
Z
1
0
x
2
e
x
dx; (b)
Z
2
Z
3
(a)
x
10
5
p
1+x
7
dx; (c)
x
3
tanxdx.
0
4
11.Obliczy¢poleobszarówograniczonychliniami
(a)parabolamiy=x
2
ix=y
2
,
(b)prostymix=−1,x=1,osi¡OXorazłukiemliniiy=
1
x
2
+1
,
(c)parabol¡4y=8x−x
2
iprost¡4y=x+6,
(d)parabolamiy=4−x
2
,y=x
2
−2x,
(e)parabol¡y=6x−x
2
iosi¡OX,
(f)parabol¡y=2x−x
2
iprost¡x+y=0,
(g)lini¡x=acost,y=bsint.
Odpowiedzi(a)
1
3
,(b)
2
,(c)5
5
24
,(d)9,(e)36,(f)
9
2
,(g)ab.
11.Obliczy¢całkiniewła±ciwelubuzasadni¢ichrozbie»no±¢
Z
0
dx
x+1
;
(a)
−2
Z
1
0
lnxdx;
(b)
Z
+1
−1
xsinxdx;
(c)
Z
+1
dx
x
2
+2x+2
.
(d)
−1
2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]