Rach zdan 1 f, szkoła, Matematyka Dyskretna, Wykłady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->1RACHUNEK ZDAŃRachunek zdań to dział logiki matematycznej badający związki międzyzdaniami.Wklasycznym rachunku zdań- zało enie, e ka demu zdaniu ma jedną zdwu wartości logicznych - prawdę (1) albo fałsz (0). Rachunek zdańokreśla sposoby stosowania spójników zdaniowych w poprawnymwnioskowaniu. Jest to rachunekdwuwartościowy.Zdania zło one, dla których wartość logiczna jest równa 1, niezale nieod tego, jakie wartości logiczne mają zdania proste, z których sięskładają nazywa się prawami rachunku zdań lubtautologiami.Zalą ki klasycznego rachunku zdań odnajdujemy ju w staro ytnejfilozofii. Zajmowano się nim równie w średniowieczu. Współczesne,sformalizowane oraz pełne ujęcie rachunku zdań po raz pierwszy podałw 1879 roku logik niemieckiGottlob Frege.Niemałą rolę w dalszymrozwoju rachunku zdań odegrali matematycy polscy, a wśród nichgłównieJan Łukasiewicz i Alfred Tarski.PRAWA KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ1.Prawo to samości(ka de zdanie implikuje siebie),czyli „je eliptop”2.Prawo podwójnego przeczeniaWedług tej zasady, podwójnie zaprzeczenie prowadzi do potwierdzenia.Tak jest w większości gramatyk.3.Prawo przemienności koniunkcji4.Prawo przemienności alternatywy5.Prawo łączności koniunkcji6.Prawo łączności alternatywy7.Prawo idempotentności koniunkcjiMatematyka dyskretna - rachunek zdań128.Prawo idempotentności alternatywy9.Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywyPrawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji10.Prawo wyłączonego środkaZ dwóch zdań: zdania lub jego zaprzeczenia jedno zawsze jestprawdziwe.Inaczej: trzeciej mo liwości nie ma.11.Prawo sprzeczności12.Prawa pochłanianiaInna postać:13.Pierwsze prawo De Morgana(prawo zaprzeczenia alternatywy)Drugie prawo De Morgana(prawo zaprzeczenia koniunkcji)14.Prawo Claviusazdanie wynika ze swojego zaprzeczenia, to jest prawdziwe15.Prawo Dunsa SzkotaJe eli zdanie jest fałszywe, to wynika z niego ka de inne zdanie.16.Prawo symplifikacjiJe eli zdanie jest prawdziwe, to wynika ono z ka dego innego.Matematyka dyskretna - rachunek zdań2317.Prawo sylogizmu, prawo przechodności implikacji18.Prawa transpozycji19.Prawo odrywania20.Prawo eliminacji implikacji21.Prawo zaprzeczenia implikacji22.Prawo redukcji do absurdu23.Prawo FregegoWszystkie prawa klasycznego rachunku zdań sątautologią.Oznacza to,e wyra enia te są prawdziwe na mocy swojej logicznej formy. Czyliprzy ka dym podstawieniu stałych za zmienne, zdanie ma wartośćlogiczną prawdy.Matematyka dyskretna - rachunek zdań34Niektóre rodzaje zdań.W ni ej podanych określeniachp, qsą zdaniami.Alternatywa -zdanie zło one mające postaćplubq.Zapisujemyp∨q.Alternatywa jest:- przemiennap∨q =q∨p- łącznap∨(q∨r)= (p∨q)∨rW językach programowania: or, | | .Tabelka działańp11q11p∨q111Alternatywa wykluczająca.(róznica symetryczna, XOR) – zdaniepalboq, oznaczamyp∨q. Alternatywa wykluczającap∨qjestprawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy dokładnie jedno ze zdańp, qjestprawdziwe.Tabelka działańp11q11p∨q11Matematyka dyskretna - rachunek zdań45Implikacja(wynikanie) - zpwynikaq- oznaczamyp⇒q. Zdaniep⇒qjest prawdziwe, gdyqjest prawdziwe lubpjest fałszywe.Tabelka działańp11q11p⇒q111Koniunkcja(iloczyn logiczny) - zdaniepiq,gdziep, qsą zdaniami.Oznaczamyp∧q.Prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdypiqsą prawdziwe.Tabelka działańp11q11p∧q1Negacja(zaprzeczenie) - zdanie: nieprawda ep,gdziepjest zdaniem.Zapisujemy¬p(lub te∼p).Zło enie dwóch negacji daje zdaniewyjściowe, tzn:¬ ¬p=p.Tabelka działańp1¬p1Matematyka dyskretna - rachunek zdań5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]