R Pr MAP1151 przyklady srednia lista4, EiT PWr, Rachunek Prawdopodobieństwa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rachunekprawdopodobie«stwaMAP1151
WydziałElektroniki,rokakad.2009/10,sem.letni
Wykładowca:drhab.A.Jurlewicz
Przykładydolisty4:Warto±¢oczekiwana,wariancja,mediana,kwartyle
rozkładuprawdopodobie«stwa.Standaryzacjarozkładunormalnego.
Przykładydozadania
4.1
:
(a)Wyliczy¢-oiletomo»liwe-warto±¢oczekiwan¡iwariancj¦or
azwyznaczy¢median¦ikw
artyle
dyskretnegorozkładuzmiennejlosowej
X
podanegowtabeli:
n
1 2 3 4
x
n
2 3 4 5
p
n
0,10,30,40,2
E
X
= 2
·
0
,
1 + 3
·
0
,
3 + 4
·
0
,
4 + 5
·
0
,
2 = 3
,
7
D
2
X
=
2
2
·
0
,
1 + 3
2
·
0
,
3 + 4
2
·
0
,
4 + 5
2
·
0
,
2
−
(E
X
)
2
= 0
,
81
(
1.5
F(x)
1
1
0.8
0.75
0.5
0.5
0.4
0.25
0.1
x
0
2
x
0.25
x
0.5
4
5
x
0.75
−0.5
0
1
2
3
4
5
1
p
D
2
X
= 0
,
9)
x
0
,
25
= 3,
x
0
,
5
=
x
0
,
75
= 4
3
(b)Wyliczy¢-oiletomo»liwe-warto±¢oczekiwan¡iwariancj¦orazwyznaczy¢median¦ikwartyle
dyskretnegorozkładuzmiennejlosowej
X
,zadanegoci¡giem
{
(
x
n
,p
n
)
,n
= 1
,
2
,...
}
,gdzie
x
n
= 2
n
,
p
n
=
2
3
n
,
n
= 1
,
2
,...
.
E
X
=
X
x
n
p
n
=
X
2
n
·
2
3
n
= 4
·
1
3
2
= 3
.
1
−
1
3
n
=1
n
=1
(Skorzystali±myzewzoruzAnalizyMatematycznej:
X
nx
n
=
x
(1
−
x
)
2
dla
|
x
|
<
1.)
n
=1
D
2
X
=
X
x
2
n
p
n
−
(E
X
)
2
=
X
(2
n
)
2
·
2
3
n
−
3
2
=
8
3
X
n
2
·
1
3
n
−
1
−
9 =
3
·
1 +
1
3
3
−
9 = 3
.
1
−
1
3
n
=1
n
=1
n
=1
(Skorzystali±myzewzoruzAnalizyMatematycznej:
X
n
2
x
n
−
1
=
1 +
x
(1
−
x
)
3
dla
|
x
|
<
1.)
p
n
=1
D
2
X
1
,
7230)
x
0
,
25
=
x
0
,
5
= 2,
x
0
,
75
= 4
1.5
F(x)
1
26/27
8/9
0.75
2/3
0.5
0.5
0.25
x
0
x
0.25
x
0.5
2
4
6
x
0.75
−0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
2
8
(
−1
(c)Wyliczy¢-oiletomo»liwe-warto±¢oczekiwan¡iwariancj¦or
azwyznaczy¢med
ian¦ikwartyle
n
123
dyskretnegorozkładuzmiennejlosowej
X
podanegowtabeli:
x
n
-1510
p
n
1
2
1
3
1
6
E
X
=
−
1
·
1
2
+ 5
·
1
3
+ 10
·
1
6
=
17
6
2
,
8333
D
2
X
=
(
−
1)
2
·
1
2
+ 5
2
·
1
3
+ 10
2
·
1
6
−
(E
X
)
2
=
629
p
36
17
,
4722
D
2
X
4
,
1780)
x
0
,
25
=
−
1,
x
0
,
5
-dowolnaliczbazprzedziału[
−
1
,
5],
x
0
,
75
= 5
1.5
F(x)
1
1
5/6
0,75
0.5
0,5
1/2
0,25
0
−1
przedzial
median
x
0,75
10
x
0,25
−0.5
0
2
4
6
8
10
3
(
5
Przykładydozadania
4.2
:
(a)Wyliczy¢-oiletomo»liwe-warto±¢oczekiwan¡iwariancj¦orazwyznaczy¢m
e
dian¦ikwartyle
(
0 dla
x
2
[0
,
3
p
3
]
,
ci¡głegorozkładuzmiennejlosowej
X
og¦sto±ci
f
(
x
) =
x
2
dla
x
2
[0
,
3
p
3]
.
R
−1
xf
(
x
)
dx
=
3
p
3
x
3
dx
=
x
4
4
3
p
3
3
3
p
3
4
1
,
0817
E
X
=
=
0
0
3
p
5
−
9
3
p
3
3
p
R
−1
x
2
f
(
x
)
dx
−
(E
X
)
2
=
3
p
3
x
4
dx
−
(E
X
)
2
=
x
5
5
3
9
9
16
9
80
0
,
0780
D
2
X
=
=
=
0
p
0
D
2
X
0
,
2793)
Dystrybuantarozkładu
X
to
8
<
F
(
x
) =
R
−1
f
(
t
)
dt
=
0 dla
x
¬
0
,
x
3
3
dla 0
< x
¬
3
p
3
,
1 dla
x >
3
p
3
.
F
(
x
) =
q
,
x
3
= 3
q
,
x
=
3
p
3
q
dla0
< q <
1
Zatem
x
0
,
25
=
3
p
0
,
75
0
,
9086,
x
0
,
5
=
3
p
1
,
5
1
,
1447,
x
0
,
75
=
3
p
2
,
25
1
,
3104
:
(b)Wyliczy¢-oiletomo»liwe-warto±¢oczekiwan¡iwariancj¦orazwyznaczy¢median¦ikwartyle
8
<
ci¡głegorozkładuzmiennejlosowej
X
og¦sto±ci
f
(
x
) =
1
3
x
4
/
3
dla
x >
1
.
dla
x
¬
1
,
:
dx
3
x
4
/
3
-rozbie»nado
1
ZatemE
X
niejestsko«czona,aD
2
X
nieistnieje
Dystrybuantarozkładu
X
to
F
(
x
) =
R
xf
(
x
)
dx
=
R
−1
1
(
R
0 dla
x
¬
1
,
1
−
x
−
1
/
3
dla
x >
1
.
f
(
t
)
dt
=
−1
F
(
x
) =
q
,
1
−
x
−
1
/
3
=
q
,
x
= (1
−
q
)
−
3
dla0
< q <
1
Zatem
x
0
,
25
= 0
,
75
−
3
2
,
3704,
x
0
,
5
= 0
,
5
−
3
= 8,
x
0
,
75
= 0
,
25
−
3
64
4
R
3
3
p
R
(
0
(c)Wyliczy¢-oiletomo»liwe-warto±¢oczekiwan¡iwariancj¦orazwyznaczy¢median¦ikwartyle
8
<
0 dla
x <
−
1
,
−
6
59
(
x
2
−
4) dla
−
1
¬
x <
1
,
0 dla 1
¬
x <
2
,
−
6
59
(
x
−
5) dla 2
¬
x <
3
,
0
ci¡głegorozkładuzmiennejlosowej
X
marozkładog¦sto±ci
f
(
x
) =
:
dla 3
¬
x
1
R
!
R
−1
xf
(
x
)
dx
=
−
6
59
3
R
E
X
=
x
(
x
2
−
4)
dx
+
x
(
x
−
5)
dx
=
0
0
@
x
3
1
−
1
2
3
−
5
x
2
3
=
−
6
59
@
0 +
2
A
=
37
59
0
,
6271
2
(pierwszacałkawsumierównajest0jakocałkazfunkcjinieparzystejpoprzedzialesy-
metrycznymwzgl¦demzera)
1
R
−
1
x
2
(
x
2
−
4)
dx
+
!
−
37
59
2
R
−1
x
2
f
(
x
)
dx
−
(E
X
)
2
=
−
6
59
3
R
2
x
2
(
x
−
5)
dx
D
2
X
=
=
0
0
@
x
5
1
0
@
x
4
1
A
−
37
59
5
−
4
x
3
1
4
−
5
x
3
3
2
=
−
6
59
@
2
A
+
=
3748909
10
·
59
2
1
,
4050
3
3
0
2
(wykorzystali±myfakt,»epierwszacałkajestzfunkcjiparzystejpoprzedzialesymetrycz-
nymwzgl¦demzera)
(
1.2
F(x)
8
<
1
0
dla
x <
−
1
,
0.8
0,75
2(
x
(12
−
x
2
)+11)
59
dla
−
1
¬
x <
1
,
»
0,7458
0.6
F
(
x
) =
59
dla 1
¬
x <
2
,
3
x
(10
−
x
)
−
4
59
0,5
:
0.4
dla 2
¬
x <
3
,
0.2
0,25
1
dla 3
¬
x
−1
1
2
3
0
x
0,25
x
0,5
x
0,75
»
2,014
x
−0.2
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
59
= 0
,
25;
−
1
< x <
1
,
,−
x
3
+ 12
x
+ 3
,
625 = 0;
−
1
< x <
1
x
0
,
25
jestrozwi¡zaniemtegorównania
Metod¡przybli»on¡otrzymujemyrozwi¡zanie
x
0
,
25
−
0
,
3125
F
(
x
) = 0
,
5
,
2(
x
(12
−
x
2
)+11)
59
= 0
,
5;
−
1
< x <
1
,
,−
x
3
+ 12
x
−
3
,
75 = 0;
−
1
< x <
1
x
0
,
5
jestrozwi¡zaniemtegorównania
Metod¡przybli»on¡otrzymujemyrozwi¡zanie
x
0
,
5
0
,
3125
F
(
x
) = 0
,
75
,
3
x
(10
−
x
)
−
4
=
107
3
,
x
0
,
75
=
10
−
p
107
3
2
2
,
0139
59
= 0
,
75; 2
< x <
3
,
x
2
−
10
x
+
193
12
= 0; 2
< x <
3
5
p
D
2
X
1
,
1850)
Dystrybuantarozkładu
X
to(zprzykładu3.5)
44
−1.5
F
(
x
) = 0
,
25
,
2(
x
(12
−
x
2
)+11)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]