R Pr MAEW104 wyklad7 zmienna los dystrybuanta, TŻ, SEMI, SEM II, statystyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rachunekprawdopodobie«stwaMAP1064
WydziałElektroniki,rokakad.2008/09,sem.letni
Wykładowca:drhab.A.Jurlewicz
Wykład7:Zmiennalosowa.Dystrybuanta.
Definicja.
Zmiennalosowa
X
to funkcja
X
:
−!
R
, dla której dla dowolnego borelowskiego
zbioru
B
R
zbiór
{
!
:
X
(
!
)
2
B
}
ozn.
=
{
X
2
B
}2F
,
tzn. zbiór
{
X
2
B
}
jest zdarzeniem losowym.
Innymi słowy, jest to taka funkcja
X
na zbiorze zdarze« elementarnych o warto±ciach licz-
bowych, dla której okre±lone s¡ (teoretycznie) prawdopodobie«stwa przyjmowania przez
X
warto±ci z ka»dego dowolnego zakresu.
(Uwaga: z analizy matematycznej przyzwyczajeni jeste±my do zupełnie innej informacji:
znamy zwykle przepis na warto±¢ funkcji dla danego argumentu, badamy wykres funkcji,
monotoniczno±¢, ró»niczkowalno±¢ itd.)
W rachunku prawdopodobie«stwa interesuje nasrozkładzmiennej losowej, ewentualnie
jejcharakterystykiliczbowe(takie jak warto±¢ ±rednia, wariancja i inne momenty,
mediana i inne kwantyle, mody).
cała informacja
fragment informacji;
t
en, który nas interesuje
'
$
X
-
(
,
F
,P
)
(
R
,
B
,P
X
)
%
przestrze« probabilistyczna
nowa przestrze«
probabilistyczna,
B
to zbiory borelowskie,
P
X
to rozkład zmiennej
losowej
X
1
&
Rozkładzmiennejlosowej
Definicja.
Rozkładzmiennejlosowej
X
to funkcja okre±lona na zbiorach borelowskich w
nast¦puj¡cy sposób:
P
X
(
B
) :=
P
(
X
2
B
) dla dowolnego borelowskiego zbioru
B.
P
X
to funkcja o własno±ciach prawdopodobie«stwa dla przestrzeni stanów
R
i rodziny
zdarze« losowych
B
(zbiorów borelowskich).
Przykładyzmiennychlosowych:
1. Ilo±¢ ”szóstek” w
n
rzutach kostk¡ do gry.
2. Ilo±¢ rzutów potrzebnych do uzyskania pierwszej ”szóstki”.
3. Numer orbity, na której znajduje si¦ elektron.
4. Zachowanie dziewczyny, gdy jej chłopak spó¹nia sie na randk¦, opisane liczbowo,
np.
−
1 - gniewa si¦; 0 - nie zauwa»a; 1 - cieszy si¦, »e wreszcie przyszedł.
5. Czas bezawaryjnej pracy komputera liczony w godzinach.
Typyzmiennychlosowych:
1. Zmienna losowa
dyskretna
(in. o rozkładzie dyskretnym)
to taka zmienna losowa, która przyjmuje z dodatnim prawdopodobie«stwem jedynie
sko«czon¡ lub niesko«czon¡ przeliczaln¡ liczb¦ ró»nych warto±ci.
2. Zmienna losowa
ci¡gła
(in. rozkładzie ci¡głym)
to taka zmienna losowa, dla której istnieje taka nieujemna funkcja
f
(
x
), »e dla
ka»dego borelowskiego zbioru
B
Z
P
X
(
B
) =
f
(
x
)
dx.
B
Funkcja
f
(
x
) zwana jest wtedyg¦sto±ci¡rozkładu
X
.
3. Zmienna losowa
osobliwa
(in. o rozkładzie osobliwym)
to zmienna losowa, której rozkład skupiony jest na nieprzeliczalnym zbiorze o dłu-
go±ci 0 (np. na zbiorze Cantora), tzn. prawdopodobie«stwo tego, »e zmienna ta
przyjmuje warto±¢ z tego zbioru, wynosi 1, przy czym
P
(
X
=
x
) = 0 dla ka»dego
x
2
R
.
4. Dowolna zmienna losowa albo jest jednego z tych trzech typów, albo ma rozkład
mieszany
składaj¡cy si¦ z rozkładów tych typów.
2
Technikaokre±laniarozkładuzmiennejlosowej
X
zapomoc¡dystrybuanty:
Pełna informacja o rozkładzie zmiennej losowej
X
zawarta jest w funkcji
F
(
x
) =
P
(
X<x
)
,x
2
R
,
nazywanej
dystrybuant¡
.
Zauwa»my, »e
F
(
x
) =
P
(
X<x
) =
P
X
(
B
) dla
B
= (
−1
,x
).
Z dystrybuanty mo»emy dosta¢ informacj¦ o warto±ciach funkcji
P
X
na innych zbiorach
borelowskich:
P
(
X<b
) =
F
(
b
)
P
(
X
¬
b
) = lim
x
!
b
+
F
(
x
);
P
(
X
b
) = 1
−
F
(
b
);
P
(
X>b
) = 1
−
lim
x
!
b
+
F
(
x
);
P
(
a
¬
X<b
) =
F
(
b
)
−
F
(
a
);
P
(
a<X<b
) =
F
(
b
)
−
lim
x
!
a
+
F
(
x
);
P
(
a<X
¬
b
) = lim
x
!
b
+
F
(
x
)
−
lim
x
!
a
+
F
(
x
);
P
(
a
¬
X
¬
b
) = lim
x
!
b
+
F
(
x
)
−
F
(
a
).
Funkcja
F
(
x
) spełnia nast¦puj¡ce warunki:
jest lewostronnie ci¡gła;
jest niemalej¡ca;
x
!−1
F
(
x
) = 0, lim
x
!1
F
(
x
) = 1.
Je»eli pewna funkcja
F
(
x
) spełnia te warunki, to dla pewnej zmiennej losowej
X
mamy
F
(
x
) =
P
(
X<x
). Funkcja
F
ma wtedy probabilistyczn¡ interpretacj¦, reprezentacj¦,
mo»e by¢ u»ywana w modelach w roli dystrybuanty.
3
lim
Przykładowy wykres dystrybuanty (
X
- płaca losowo wybranego pracownika pewnej du-
»ej grupy zawodowej w stosunku do płacy minimalnej):
F(x)
1
0.8
0.6
P(B)=
dlugosc
0.4
0.2
x
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
B
Przykładydozad.6.1-6.4
4
X
[ Pobierz całość w formacie PDF ]