R obr(3), Budownictwo-studia, mechanika ogulna
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
7. RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ
Omawiane poni
Ň
ej wielko
Ļ
ci wprowadzimy dla szczególnego, ale bardzo cz
ħ
sto
wyst
ħ
puj
Ģ
cego w praktyce przypadku ruchu obrotowego ciała wokół ustalonej osi obrotu.
Przypadki ogólniejsze omówimy pod koniec tego paragrafu (ruch precesyjny, o
Ļ
nieswobodna).
7.1 Podstawowe wielko
Ļ
ci opisuj
Ģ
ce ruch obrotowy
K
Ģ
t obrotu, pr
ħ
dko
Ļę
i przyspieszenie k
Ģ
towe
Wyobra
Ņ
my sobie,
Ň
e ciało obraca si
ħ
wokół ustalonej osi obrotu, jak na poni
Ň
szym rysunku.
Współrz
ħ
dn
Ģ
opisuj
Ģ
c
Ģ
obrót ciała jest k
Ģ
t albo inaczej przemieszczenie k
Ģ
towe; nazwijmy je:
a
(t).
Pr
ħ
dko
Ļę
obrotu charakteryzuje pr
ħ
dko
Ļę
k
Ģ
towa
w
; definiujemy j
Ģ
jako:
d
a
w
=
(53)
dt
Pr
ħ
dko
Ļę
k
Ģ
towa mo
Ň
e ulega
ę
zmianom, a zatem definiuje si
ħ
przyspieszenie k
Ģ
towe e:
d
w
d
2
a
e
=
=
(54)
dt
dt
2
Pr
ħ
dko
Ļę
k
Ģ
towa i przyspieszenie k
Ģ
towe s
Ģ
wektorami; w przypadku obrotu wokół ustalonej
osi kierunki tych wektorów pokrywaj
Ģ
si
ħ
z kierunkiem osi obrotu, za
Ļ
ich zwrot wyznacza
reguła
Ļ
ruby prawoskr
ħ
tnej
.
Wektory
w
i
e
s
Ģ
tym dla ruchu obrotowego czym s
Ģ
v
i
a
dla ruchu post
ħ
powego.
jest prostopadły do powierzchni rysunku i jest
skierowany do góry (oznaczamy go symbolicznie przez
; dodajmy,
Ň
e wektor prostopadły
do rysunku, ale skierowany w dół oznaczamy przez
w
Ä
).
27
=
a
Na poni
Ň
szym rysunku przedstawiono schematycznie ruch obrotowy bardzo małego ciała
(„punktu materialnego”) po okr
ħ
gu. Wektor
Zgodnie z łukow
Ģ
definicj
Ģ
k
Ģ
ta (patrz rysunek po prawej):
przyrost drogi (kawałek łuku) to:
ds
=
rd
a
,
ds
d
a
pr
ħ
dko
Ļę
liniowa (ruchu post
ħ
powego):
v
=
=
r
=
r
w
; a zatem:
v
=
r
w
.
dt
dt
Ró
Ň
niczkuj
Ģ
c t
Ģ
zale
Ň
no
Ļę
po czasie otrzymujemy:
e
a
=
r
. Dwie ostatnie zale
Ň
no
Ļ
ci zapisuje si
ħ
ogólniej:
v
=
w
´
r
(55)
a
=
e
´
r
Wyst
ħ
puj
Ģ
cy tu wektor
r
jest wektorem wodz
Ģ
cym rozwa
Ň
anego punktu materialnego, za
Ļ
znak
´
oznacza iloczyn wektorowy.
Podobnie, jak w przypadku ruchu post
ħ
powego, mo
Ň
emy wyró
Ň
ni
ę
dwa szczególne typy
ruchu obrotowego:
a) jednostajny; wtedy:
a
=
a
o
+
w
t,
b) jednostajnie zmienny (gdy
e
=const, zakładamy ponadto,
Ň
e pocz
Ģ
tkowe poło
Ň
enie k
Ģ
towe
to
a
0
, a pocz
Ģ
tkowa pr
ħ
dko
Ļę
k
Ģ
towa to
w
0
):
e
t
2
at
2
a
=
a
+
w
t
+
(analogia do:
x
=
x
+
v
t
+
)
0
0
2
0
0
2
oraz:
w
=
w
0
+
e
t
(analogia do:
v
=
v
0
+
at
)
Energia kinetyczna
Rozwa
Ň
my ciało o dowolnym kształcie, obracaj
Ģ
ce si
ħ
wokół stałej osi obrotu:
28
Na rysunku wydzielono mas
ħ
m
i
bardzo małego i-tego elementu ciała. Odległo
Ļę
tego
elementu od osi obrotu wynosi r
i
. Energia kinetyczna ciała w ruchu obrotowym b
ħ
dzie sum
Ģ
energii kinetycznych ruchu post
ħ
powego wszystkich jego elementów:
N
m
v
2
N
m
w
2
r
2
w
2
N
E
=
Ã
i
i
=
Ã
i
i
=
Ã
m
r
2
.
k
2
2
2
i
i
=
1
i
=
1
=
1
Sum
ħ
wyst
ħ
puj
Ģ
c
Ģ
po prawej stronie ostatniej równo
Ļ
ci nazywamy
momentem bezwładno
Ļ
ci
i
oznaczamy jako I:
I
=
Ã
=
N
m
i
r
2
i
(55)
1
Ostatecznie, otrzymujemy bardzo przejrzysty wzór na energi
ħ
kinetyczn
Ģ
obracaj
Ģ
cego si
ħ
ciała:
k
w
I
2
E
=
(56)
2
Moment p
ħ
du
gdzie
r
jest wektorem poło
Ň
enia punktu materialnego, za
Ļ
p
jest p
ħ
dem ciała. Moment p
ħ
du
jest zatem okre
Ļ
lony wzgl
ħ
dem punktu (oznaczonego tutaj jako „0”). Relacja ta
przedstawiona jest schematycznie poni
Ň
ej.
L
=
r
´
p
=m
v
L
r
0
29
i
i
i
Rozwa
Ň
my obrót ciała wokół ustalonej osi. Dla pojedynczego bardzo małego ciała
(nazywamy go
punktem materialnym
) moment p
ħ
du definiujemy jako:
p
) – patrz rysunek poni
Ň
ej.
Równoległo
Ļę
ta ma natomiast miejsce je
Ļ
li o
Ļ
obrotu jest osi
Ģ
symetrii ciała (lub gdy jest
jedn
Ģ
z osi głównych – o czym b
ħ
dzie mowa w paragrafie 7.3).
w
L
L
w
0
w
nie s
Ģ
równoległe,
Po prawej: je
Ļ
li o
Ļ
obrotu jest osi
Ģ
symetrii ciała to
L
i
w
s
Ģ
równoległe.
w
Sytuacja znacznie si
ħ
upraszcza, je
Ļ
li rozwa
Ň
ymy składow
Ģ
momentu p
ħ
du równoległ
Ģ
do osi
obrotu (
L
o
Ļ
); załó
Ň
my ponadto,
Ň
e o
Ļ
obrotu ma ustalony kierunek w przestrzeni (tak jest w
wi
ħ
kszo
Ļ
ci urz
Ģ
dze
ı
mechanicznych). Wektor
L
o
Ļ
jest oczywi
Ļ
cie równoległy do wektora
pr
ħ
dko
Ļ
ci k
Ģ
towej
.
Wyliczenie momentu p
ħ
du
L
o
Ļ
rozpoczynamy od podzielenia (w my
Ļ
lach) ciała na ogromn
Ģ
ilo
Ļę
bardzo małych elementów (numerujemy je wska
Ņ
nikiem
i
). W ogólno
Ļ
ci moment p
ħ
du
jest sum
Ģ
jego przyczynków (
r
i
x
p
i
) od wszystkich elementów m
i
. Ograniczaj
Ģ
c si
ħ
do
wyliczenia
L
o
Ļ
bierzemy wyra
Ň
enia r
i
p
i
(zamiast
r
i
x
p
i
), gdzie r
i
jest odległo
Ļ
ci
Ģ
elementu m
i
od osi obrotu. Tak wi
ħ
c:
N
N
N
N
2
L
=
Ã
p
r
=
Ã
m
v
r
=
Ã
m
w
r
r
=
Ã
m
r
=
I
o
Ļ
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
=
1
i
=
1
i
=
1
i
=
1
Otrzymali
Ļ
my zatem proste wyra
Ň
enie na moment p
ħ
du ciała:
w
L
o
Ļ
= I
30
Zastanówmy si
ħ
teraz jak mo
Ň
na wyliczy
ę
całkowity moment p
ħ
du ciała. Na ogół moment
p
ħ
du ciała (
L
) nie jest równoległy do wektora pr
ħ
dko
Ļ
ci k
Ģ
towej (
Po lewej: w ogólnym przypadku wektory
L
i
w
i
Pami
ħ
tajmy jednak,
Ň
e moment p
ħ
du jest wektorem. Jak ju
Ň
wspomniano, je
Ļ
li ciało obraca
si
ħ
wokół swojej osi symetrii to kierunek wektora momentu p
ħ
du
L (
b
ħ
d
Ģ
cy równym
L
o
Ļ
) jest
równoległy do kierunku wektora pr
ħ
dko
Ļ
ci k
Ģ
towej w; mo
Ň
emy wtedy zapisa
ę
:
L
=
I
(57)
Moment bezwładno
Ļ
ci odgrywa podstawow
Ģ
rol
ħ
w mechanice ruchu obrotowego.
Porównuj
Ģ
c wyra
Ň
enia 56 i 57 z analogicznymi wyra
Ň
eniami dla ruchu post
ħ
powego,
dochodzimy do wniosku,
Ň
e moment bezwładno
Ļ
ci spełnia w ruchu obrotowym tak
Ģ
sama
rol
ħ
jak masa w ruchu post
ħ
powym.
Przykład: moment bezwładno
Ļ
ci pr
ħ
ta wzgl
ħ
dem osi prostopadłej do niego i przechodz
Ģ
cej
przez jego koniec
Długo
Ļę
pr
ħ
ta wynosi l, za
Ļ
jego masa M. Podzielmy w my
Ļ
li obracaj
Ģ
cy si
ħ
pr
ħ
t na
niesko
ı
czenie cienkie „plasterki”. Niech grubo
Ļę
jednego z nich wynosi dr , co pokazano na
poni
Ň
szym rysunku. Przyczynek do momentu bezwładno
Ļ
ci, który wnosi nasz niesko
ı
czenie
cienki plasterek o grubo
Ļ
ci dr (i masie dm)wynosi:
dI
=
r
2
dm
=
r
2
M
dr
l
Pr
ħ
t jest obiektem ci
Ģ
głym, a nie sum
Ģ
dyskretnych elementów, wi
ħ
c wyra
Ň
enie 59 na
moment bezwładno
Ļ
ci nie b
ħ
dzie dostatecznie precyzyjne (wyst
ħ
puje w nim suma po
sko
ı
czonej ilo
Ļ
ci elementów). Sum
ħ
musimy zast
Ģ
pi
ę
całk
Ģ
:
M
l
M
Ç
r
3
×
l
Ml
2
2
I
=
Ð
dl
=
Ð
r
dr
=
É
Ù
=
l
l
3
3
V
0
0
0
gdzie V
0
całkowit
Ģ
oznacza obj
ħ
to
Ļę
ciała.
Tak wi
ħ
c poszukiwany moment bezwładno
Ļ
ci wynosi:
Ml
2
I
=
3
W obliczeniach momentów bezwładno
Ļ
ci, cz
ħ
sto przydatne jest
twierdzenie Steinera
.
Pozwala ono wyrazi
ę
moment bezwładno
Ļ
ci ciała (I) wzgl
ħ
dem dowolnej osi, je
Ļ
li znamy
moment bezwładno
Ļ
ci (I
0
) wzgl
ħ
dem osi do niej równoległej, ale przechodz
Ģ
cej przez
Ļ
rodek
masy ciała:
I
=
I
+
Mh
2
(58)
0
gdzie h jest odległo
Ļ
ci
Ģ
mi
ħ
dzy obu osiami.
31
[ Pobierz całość w formacie PDF ]