Rama ze ściągiem II, Budownictwo, semestr 2, MECHANIKA TEORETYCZNA, semestr 2 na EGZAMIN mechana
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przykład 3.4. Rama ze ściągiem
Polecenie: Korzystając ze wzoru Maxwella-Mohra wyznaczyć wzajemną zmianę kąta w
punkcie
B
oraz przemieszczenie punktu
C
w poniższym układzie. Pominąć wpływ sił
normalnych w części „ramowej” układu.
2
⋅
P
∆
=
?
B
45º
B
δ
C
=
?
EI
EI
2
l
C
2
EI
EI
2
EI
l
EI
EA
l
2
l
3
l
3
l
2
l
W celu wyznaczenia wzajemnej zmiany kąta w punkcie
B
oraz przemieszczenia
punktu
C
z wykorzystaniem wzoru Maxwella-Mohra należy wykonać wykresy momentów
gnących od obciążenia rzeczywistego i obciążeń jednostkowych.
Obciążenie rzeczywiste
Przed przystąpieniem do sporządzenia wykresu momentów wyznaczymy reakcje
podporowe. Oswobodzimy układ od więzów, zastępując podpory reakcjami. Podpora z lewej
strony jest podporą przegubową nieprzesuwną. Oznaczmy ją literą
D
. Prawa podpora jest
podporą przegubową przesuwną. Oznaczmy ją literą
C
. W punkcie
D
działają dwie niezależne
od siebie składowe reakcji: pionowa i pozioma, natomiast w punkcie
C
działa reakcja
pionowa (prostopadła do kierunku możliwego przesuwu). W celu uproszczenia zapisu równań
równowagi rozłożymy siłę skupioną na dwie składowe: pionową i poziomą o wartości
P
.
P
P
B
2
l
D
J
K
C
H
D
l
R
C
V
D
y
G
l
x
F
2
l
3
l
3
l
2
l
Z równania sumy momentów względem punktu
D
wyznaczymy reakcję
R
C
.
∑
i
M
=
0
:
R
⋅
10
l
+
P
⋅
2
l
−
P
⋅
5
l
=
0
⇒
R
=
3
⋅
P
iD
C
C
10
Z równania sumy rzutów sił na oś pionową obliczymy składową
V
D
.
∑
=
i
P
0 :
V
+
R
−
P
=
0
⇒
V
=
7
⋅
P
iy
D
C
D
10
Z równania sumy rzutów sił na oś poziomą obliczymy składową
H
D
.
∑
=
i
i
P
0 :
H
D
− 0
P
⇒
H
D
=
P
Przed sporządzeniem wykresu momentów gnących w rozpatrywanym układzie należy
również wyznaczyć siłę w ściągu. W tym celu podzielimy układ na podukłady. Siłę w ściągu
S
oddziaływującą na lewy i prawy podukład zastąpimy dwiema składowymi: pionową
S
y
i
poziomą
S
x
. Są one równe:
S
=
S
⋅
1
S
=
S
⋅
6
.
y
37
x
37
P
V
B
P
B
H
B
H
B
B
V
B
2
l
P
D
J
K
C
7
3
P
l
P
S
x
G
S
y
10
10
S
y
l
3
l
2
l
F
S
x
2
l
3
l
G
S
F
l
S
6
l
Siłę
S
wyznaczymy z równania sumy momentów względem punktu
B
dla prawego
podukładu.
∑
=
i
M
p
iB
0 :
R
C
⋅
5
l
−
S
⋅
6
⋅
3
l
−
S
⋅
1
⋅
3
l
=
0
⇒
S
=
37
⋅
P
37
37
14
Wyznaczymy teraz oddziaływania w przegubie
B
, zapisując równania równowagi dla
prawego podukładu. Równanie sumy rzutów sił na oś poziomą ma postać:
∑
P
p
ix
=
0 :
H
−
S
⋅
6
=
0
⇒
H
=
3
⋅
P
,
B
37
B
7
i
natomiast równanie sumy rzutów sił na oś pionową jest następujące:
∑
P
p
iy
=
0 :
R
−
V
−
S
⋅
1
=
0
⇒
V
=
8
⋅
P
.
C
B
37
B
35
i
Składowe siły w ściągu
S
wynoszą:
S
=
S
⋅
1
=
1
⋅
P
S
=
S
⋅
6
=
3
⋅
P
y
37
14
x
37
7
2
8
P
P
35
P
B
B
3
3
P
P
8
7
7
2
l
P
35
P
D
J
K
C
7
3
3
P
l
G
P
1
P
10
P
10
7
14
3
1
l
F
P
P
7
14
3
l
2
l
2
l
3
l
37
P
G
14
l
F
37
P
6
l
14
Wykres momentów gnących od obciążenia rzeczywistego jest następujący:
B
6
7
D
J
19
6
K
C
35
35
3
7
7
G
3
5
5
M
F
mnożnik
Pl
Wyznaczenie wzajemnej zmiany kąta ∆φ
B
- obciążenie jednostkowe
Rozpatrywany układ należy obciążyć obciążeniem jednostkowym, stosownym do
poszukiwanego przemieszczenia. W przypadku wyznaczania wzajemnej zmiany kąta w
punkcie
B
, należy z obu stron przegubu przyłożyć jako siłę uogólnioną parę jednostkowych
momentów o przeciwnych zwrotach.
3
1
B
1
2
l
D
C
l
l
2
l
3
l
3
l
2
l
Przed przystąpieniem do sporządzenia wykresu momentów wyznaczymy reakcje
podporowe. Oswobodzimy układ od więzów, zastępując podpory reakcjami. Podpora z lewej
strony jest podporą przegubową nieprzesuwną. Oznaczmy ją literą
D
. Prawa podpora jest
podporą przegubową przesuwną. Oznaczmy ją literą
C
. W punkcie
D
działają dwie niezależne
od siebie składowe reakcji: pionowa i pozioma, natomiast w punkcie
C
działa reakcja
pionowa (prostopadła do kierunku możliwego przesuwu).
1
B
1
2
l
H
D
D
J
K
C
V
R
l
G
l
F
2
l
3
l
3
l
2
l
Z równania sumy momentów względem punktu
D
wyznaczymy reakcję
R
.
0
∑
i
M
iD
=
:
R
C
⋅
10
l
+
1
−
1
=
0
⇒
R
C
=
0
Z równania sumy rzutów sił na oś pionową obliczymy składową
V
.
∑
P
iy
=
0 :
V
D
+
R
C
=
0
⇒
V
D
=
0
i
Z równania sumy rzutów sił na oś poziomą obliczymy składową
H
.
∑
i
P
0 :
=
H
D
=
0
i
Przed sporządzeniem wykresu momentów gnących w rozpatrywanym układzie należy
r
ó
wnież wyznaczyć siłę w ściągu. W tym celu podzielimy układ na podukłady. Siłę w ści
ąg
u
S
oddziaływującą na lewy i prawy podukład zastąpimy dwiema składowymi: pionową
S
i
poziomą
S
. Są one równe:
S
=
S
⋅
1
S
=
S
⋅
6
.
y
37
x
37
4
1
B
B
1
H
H
B
B
V
B
V
B
2
l
D
J
K
C
0
0
l
0
G
S
x
S
l
S
3
l
y
2
l
S
F
y
x
2
l
3
l
G
S
F
l
S
6
l
Siłę
S
wyznaczymy z równania sumy momentów względem punktu
B
dla prawego
podukładu.
∑
M
p
iB
=
0 :
R
C
⋅
5
l
−
S
⋅
6
⋅
3
l
−
S
⋅
1
⋅
3
l
−
1
=
0
⇒
S
=
−
37
37
37
21
⋅
l
i
Wyznaczymy teraz oddziaływania w przegubie
B
, zapisując równania równowagi dla
prawego podukładu. Równanie sumy rzutów sił na oś poziomą ma postać:
∑
=
i
P
p
ix
0 :
H
−
S
⋅
6
=
0
⇒
H
=
−
2
,
B
37
B
7
⋅
l
natomiast równanie sumy rzutów sił na oś pionową jest następujące:
∑
=
i
P
p
iy
0 :
R
−
V
−
S
⋅
1
=
0
⇒
V
=
1
.
C
B
37
B
21
⋅
l
Składowe siły w ściągu
S
wynoszą:
S
=
S
⋅
1
=
−
1
S
=
S
⋅
6
=
−
2
y
37
21
⋅
l
x
37
7
⋅
l
1
B
2
2
B
1
1
7
⋅
l
7
⋅
l
1
2
l
21
⋅
l
21
⋅
l
D
J
K
C
0
0
0
l
G
2
1
l
2
F
7
⋅
l
21
⋅
l
1
7
⋅
l
21
⋅
l
G
37
l
37
F
21
⋅
l
6
l
21
⋅
l
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]