Rama ze ściągiem, Budownictwo, semestr 2, MECHANIKA TEORETYCZNA, semestr 2 na EGZAMIN mechana
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przykład 3.3. Rama ze ściągiem
Polecenie: Korzystając ze wzoru Maxwella-Mohra wyznaczyć przemieszczenie kątowe w
punkcie
B
w poniższym układzie. Pominąć wpływ sił normalnych w części „ramowej”
układu.
q
B
ϕ
B
=
?
l
2
EI
2
EI
2
l EI
EI
l
EA
2
l
3
l
W celu wyznaczenia przemieszczenia kątowego z wykorzystaniem wzoru Maxwella-
Mohra należy wykonać wykresy momentów gnących od obciążenia rzeczywistego i
obciążenia jednostkowego.
Obciążenie rzeczywiste
Przed przystąpieniem do sporządzenia wykresu momentów wyznaczymy reakcje
podporowe. Oswobodzimy układ od więzów, zastępując podpory reakcjami. Podpora z lewej
strony jest podporą przegubową nieprzesuwną. Oznaczmy ją literą
C
. Prawa podpora jest
podporą przegubową przesuwną. Oznaczmy ją literą
D
. W punkcie
C
działają dwie niezależne
od siebie składowe reakcji: pionowa i pozioma, natomiast w punkcie
D
działa reakcja
pionowa (prostopadła do kierunku możliwego przesuwu).
q
q
B
B
K
l
H
J
2
l
F
G
l
C
D
C
0
D
H
C
5
5
R
D
V
C
y
ql
ql
2
2
2
l
3
l
x
2
l
3
l
Z równania sumy momentów względem punktu
C
wyznaczymy reakcję
R
D
.
∑
i
M
=
0
:
R
⋅
5
l
−
q
⋅
5
l
⋅
1
⋅
5
l
=
0
⇒
R
=
5
⋅
ql
iC
D
2
D
2
Z równania sumy rzutów sił na oś pionową obliczymy składową
V
C
.
∑
P
=
0 :
V
+
R
−
q
⋅
5
l
=
0
⇒
V
=
5
⋅
ql
iy
C
D
C
2
i
Z równania sumy rzutów sił na oś poziomą obliczymy składową
H
C
.
∑
=
i
ix
P
0 :
H
C
=
0
Przed sporządzeniem wykresu momentów gnących w rozpatrywanym układzie należy
również wyznaczyć siłę w ściągu. W tym celu podzielimy układ na podukłady.
q
q
B
K
l
J
H
J
H
J
J
H
V
J
V
J
2
l
F
S
S
F
G
S
S
G
D
l
C
0
5
5
ql
ql
2
2
l
5
l
3
l
2
Siłę
S
wyznaczymy z równania sumy momentów względem punktu
J
dla lewego
podukładu.
∑
=
i
M
l
iJ
0 :
−
V
⋅
2
l
+
H
⋅
3
l
+
S
⋅
2
l
+
q
⋅
2
l
⋅
1
⋅
2
l
=
0
⇒
S
=
3
⋅
ql
C
C
2
2
Wyznaczymy teraz oddziaływania w przegubie
J
, zapisując równania równowagi dla
lewego podukładu. Równanie sumy rzutów sił na oś poziomą ma postać:
∑
=
i
ix
P
0 :
l
H
+
S
−
H
=
0
⇒
H
=
3
⋅
ql
,
C
J
J
2
natomiast równanie sumy rzutów sił na oś pionową jest następujące:
∑
iy
P
0 :
l
=
V
−
V
−
q
⋅
2
l
=
0
⇒
V
=
1
⋅
ql
.
C
J
J
2
i
q
q
B
K
l
J
3
3
J
H
ql
ql
2
2
1
1
ql
ql
2
2
l
2
F
3
ql
3
ql
F
G
3
ql
3
ql
G
D
2
2
2
2
l
C
0
5
5
ql
ql
2
2
l
5
l
3
l
2
Wykres momentów gnących od obciążenia rzeczywistego jest następujący:
2
9
6
=
2
3
2
2
o
6
=
3
2
B
2
o
K
9
H
J
2
F
G
C
D
M
mnożnik
ql
2
5
1
≠
0
K
9⋅
10
2
2
10
T
mnożnik
ql
+
−
H
J
Na fragmencie układu (
H
÷
J
÷
K
), na który działa obciążenie ciągłe sporządzono wykres
sił poprzecznych. Na tej podstawie stwierdzamy, że w przedziale
H
÷
J
na wykresie
momentów nie występuje ekstremum. Należy więc przedstawić wykres momentów w tym
przedziale jako sumę wykresu liniowego i parabolicznego z ekstremum w punkcie
J
.
4
=
9
2
2
2
6
=
2
o
2
o
3
2
B
2
=
K
1
2
9
H
J
2
F
G
C
D
M
mnożnik
ql
2
3
Miejsce zerowe pochodnej funkcji kwadratowej opisującej moment zginający
wywołany obciążeniem ciągłym, jest oznaczone na wykresie kolorem czerwonym.
Obciążenie jednostkowe
Rozpatrywany układ należy obciążyć obciążeniem jednostkowym, stosownym do
poszukiwanego przemieszczenia. W przypadku wyznaczania przemieszczenia kątowego
punktu
B
, należy do tego punktu przyłożyć jako siłę uogólnioną jednostkowy moment.
1
B
l
2
EI
2
EI
2
l
EI
EI
l
EA
2
l
3
l
Przed przystąpieniem do sporządzenia wykresu momentów wyznaczymy reakcje
podporowe. Oswobodzimy układ od więzów, zastępując podpory reakcjami. Podpora z lewej
strony jest podporą przegubową nieprzesuwną. Oznaczmy ją literą
C
. Prawa podpora jest
podporą przegubową przesuwną. Oznaczmy ją literą
D
. W punkcie
C
działają dwie niezależne
od siebie składowe reakcji: pionowa i pozioma, natomiast w punkcie
D
działa reakcja
pionowa (prostopadła do kierunku możliwego przesuwu).
B
1
B
1
K
l
H
J
2
l
y
F
G
l
C
H
D
x
C
0
D
C
R
1
1
V
5
⋅
l
5
⋅
l
2
l
3
l
2
l
3
l
Z równania sumy momentów względem punktu
C
wyznaczymy reakcję
R
.
∑
i
M
=
0
:
R
⋅
5
l
−
1
=
0
⇒
R
=
1
iC
D
D
5
⋅
l
Z równania sumy rzutów sił na oś pionową obliczymy składową
V
.
∑
=
i
P
0 :
V
+
R
=
0
⇒
V
=
−
1
iy
C
D
C
5
⋅
l
Z równania sumy rzutów sił na oś poziomą obliczymy składową
H
.
4
∑
i
P
0 :
=
H
C
=
0
i
Przed sporządzeniem wykresu momentów gnących w rozpatrywanym układzie należy
również wyznaczyć siłę w ściągu. W tym celu podzielimy układ na podukłady.
B
1
K
l
J
J
H
H
H
J
J
V
V
J
J
2
l
F
S
S
F
G
S
S
G
l
D
C
0
1
1
5
⋅
l
2
l
5
l
3
l
5
⋅
l
Siłę
S
wyznaczymy z równania sumy momentów względem punktu
J
dla prawego
podukładu.
∑
=
i
M
p
iJ
0 :
R
D
⋅
3
l
−
S
⋅
2
l
=
0
⇒
S
=
3
10
⋅
l
Wyznaczymy teraz oddziaływania w przegubie
J
, zapisując równania równowagi dla
prawego podukładu. Równanie sumy rzutów sił na oś poziomą ma postać:
∑
P
p
ix
=
0 :
H
−
S
=
0
⇒
H
=
3
,
J
J
10
⋅
l
i
natomiast równanie sumy rzutów sił na oś pionową jest następujące:
∑
P
p
iy
=
0 :
R
−
V
=
0
⇒
V
=
1
.
D
J
J
5
⋅
l
i
B
1
K
J
3
3
J
l
H
10
⋅
l
10
⋅
l
1
1
5
⋅
l
2
l
5
⋅
l
F
F
3
3
G
3
3
G
D
10
⋅
l
10
⋅
l
10
⋅
l
10
⋅
l
l
C
0
1
1
5
⋅
l
2
l
5
l
3
l
5
⋅
l
Wykres momentów gnących od obciążenia jednostkowego jest następujący:
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]