Rachunek prawdopodobieństwa - teoria, Studia, Przyszle lata, II rok pg
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wydział:WiLi,Budownictwo,sem.3
drJolantaDymkowska
drJózefKami«ski
RACHUNEKPRAWDOPODOBIESTWA-POJCIAWSTPNE
MATERIAŁYPOMOCNICZE-TEORIA
Przestrze«probabilistyczna
Modelemmatematycznym(tj.teoretycznym,wyidealizowanym,abstrakcyjnym)realnegodoswiadczenialosowego
(eksperymentulosowego)jesttzw.przestrze«probabilistyczna(skrótp.p.).
P.p.eksperymentulosowegostanowiukład3poj¦¢oznaczanyprzez(,S,P),gdzie
1*-przestrze«zdarze«elementarnych,
2*S-ciałozdarze«(pewnarodzinapodzbiorówprzestrzeni),
3*P-rozkładp-stwa(miaraprobabilistyczna).
Ad1*Wrachunkup-stwazdarzenieelementarnejestpoj¦ciempierwotnym(zatemniedefiniujesi¦go).Dlaka»dego
do±wiadczenialosowegooddzielnieustalasi¦zbiór(przestrze«)zdarze«elementarnych.-przestrze«
zdarze«elementarnychmo»eby¢:
•zbioremsko«czonym:={!
1
,!
2
,...,!
n
};
•zbioremprzeliczalnym:={!
1
,!
2
,...,!
n
,...};
•zbioremnieprzeliczalnym:np.=[0,1].
Ad2*Niech
R
n
tj.jestn-wymiarow¡przestrzeni¡kartezja«sk¡lubjejpodzbiorem.NiechS
oznacza
dowoln¡rodzin¦podzbiorówprzestrzeni,spełniaj¡c¡warunki:
(S1)S
,
(S2)je»eliA2S
,toA
def
=−A2S
,
(S3)je»eliA
1
,A
2
,···2S
,toA
1
[A
2
[...
ozn.
=
1
S
A
i
2S
.
i=1
Klas¦zbiorówS
nazywamy-ciałemlubprzeliczalnieaddytywnymciałemzdarze«.
Najmniejszetakieciałozawieraj¡cewszystkiezbioryotwartez
R
n
nazywamyciałemzbiorówborelowskich
ioznaczamyprzezS.Zatemrealnymzdarzeniomlosowymwmodeluabstrakcyjnymodpowiadaj¡elementy
rodzinyS,czylizdarzeniomlosowymodpowiadaj¡pewnepodzbioryprzestrzeni.Zaksjomatów(S1)-(S3)
wynikami¦dzyinnymi,»eoperacjenazdarzeniachprowadz¡tak»edozdarze«:np.A,B2S=)A[B2
S,A−B2S, (A\B)2S,itp.Je»elijestzbioremconajwy»ejprzeliczalnym,tozazdarzenielosowe
mo»nauwa»a¢dowolnypodzbiórprzestrzeni.
1
Przypomnienie
•Zdarzenie2Snazywamyzdarzeniempewnym.
•Zdarzenie;2Snazywamyzdarzeniemniemo»liwym.
•Mówimy,»ezachodzizdarzenieA,je»elizachodzijednozezdarze«elementarnych!nale»¡cychdoA.
•Zawieraniesi¦zdarze«:
AB()!2A)!2B.
•Sumazdarze«:
!2A[B()!2Alub!2B.
Ogólniej:
n
S
!2
A
i
()9
i=1,2,...,n
!2A
i
,
i=1
1
S
!2
A
i
()9
i2
N
!2A
i
.
i=1
•Iloczynzdarze«:
!2A\B()!2Ai!2B.
Ogólniej:
n
T
!2
A
i
()8
i=1,2,...,n
!2A
i
,
i=1
1
T
!2
A
i
()8
i2
N
!2A
i
.
i=1
•Mówimy,»ezdarzeniaAiBs¡rozł¡czneje»eliichł¡cznarealizacjajestniemo»liwa,tj.A\B=;.
•Ró»nicazdarze«:
!2A−B()!2Ai!/2B.
•ZdarzenieprzeciwneA:
!2A()!2−A.
•Prawad’Morgana:
(A[B)=A\B
(A\B)=A[B
Ad3*(Aksjomatycznadefinicjamiaryprobabilistycznej)
Rozkłademp-stwalubmiar¡prbabilistyczn¡nazywamyka»d¡funkcj¦P:S![0,1],którazdarzeniom
losowymA2Sprzyporz¡dowujeliczb¦rzeczywist¡P(A)tak,»espełniones¡postulaty:
(P1)P()=1
(P2)Je»eliA
1
,A
2
,...jestdowolnymci¡giem(sko«czonymlubniesko«czonym)elementówrodzinySparami
rozł¡cznych:A
i
\A
j
=;dlaka»dychi6=j,to
P(A
1
[A
2
[...)=
1
X
P(A
n
).
n=1
2
Uwagi
•DlaA2SliczbaP(A)nazywasi¦prawdopodobie«stwemzdarzeniaA.
•P-stwozdarzenianiemo»liwegoP(;)=0.
•P-stwozdarzeniaprzeciwnego:P(A)=1−P(A).
•P-stwosumyzdarze«(niekoniecznierozł¡cznych):P(A[B)=P(A)+P(B)−P(A\B).
•ABtoP(A)
6
P(B).
•GdyA
1
,A
2
,... jestniesko«czonymci¡giemzdarze«,to
1
P
P(A
n
)oznaczasum¦zbie»negoszeregu
n=1
liczbowegoowyrazachnieujemnych.
•Załó»my,»edlaeksperymentulosowegozostałazbudowanap.p. (,S,P).Interpretuj¡cP()jako
mas¦jednostkow¡,mo»napowiedzie¢,»ezadaniefunkcjiP:S![0,1]okre±lasposóbrozkładumasy
jednostkowejnawszystkiezdarzenialosowe.
•Zauwa»my,»eaksjomatyp-stwanieokreslaj¡jednoznaczniefunkcjiP,leczstanowi¡koniecznewarunki,
którefunkcjaPmusispełnia¢.
•ZdrugiejstronyprzykonstrukcjiPnale»yuwzgl¦dni¢nast¦puj¡cypostulatempiryczny:dladługiego
ci¡gupowtórze«danegodo±wiadczenialosowego:
P(A)=cz¦sto±¢zdarzeniaA=
ilo±¢realizacjizdarzeniaA
ilo±¢powtórze«do±wiadczenia
.
Przykład1
(klasycznadefinicjaprawdopodobie«stwa)
Je»elip.p.składasi¦nzdarze«elementarnych,tj.={!
1
,!
2
,...,!
n
}orazwszystkiezdarzenia
jednoelementowe{!
i
}gdziei=1,2,...,ns¡jednakowoprawdopodobne,awi¦c
P({!
1
})=P({!
2
})=...=P({!
n
})=
1
n
,
top-stwodowolnegozdarzeniaAskładaj¡cegosi¦zkzdarze«elementarnychwyra»asi¦wzorem
P(A)=
k
n
=
liczbazd.elem.sprzyjajacychzd.A
liczbawszystkichzd.elem.przestrzeni
.
Przykład2
(konstrukcjip.p.oprzeliczalnejilo±cizdarze«elementarnych-rozkładdyskretny)
={!
1
,!
2
,...,!
n
}lub={!
1
,!
2
,...,!
n
,...},
S-rodzinawszystkichpodzbiorówprzestrzeni.
Wartozaua»y¢,»eje»eli={!
1
,!
2
,...,!
n
}jestsko«czona,toS={;,{!
1
},...,{!
n
},{!
1
,!
2
},...,}.
Mamywówczas2
n
zdarze«losowych.
Rozkładp-stwaP:S![0,1]okreslamywzorami:
P({!
1
})=p
i
>
0 ,i=1,2,...,
p
i
=1.
Takwprowadzonafunkcjap-stwaspełniawszystkieaksjomatyp-stwa.
Przykład3
Esperymentlosowy:poród,wktórymobserwujemypłe¢dziecka.Modelmatematyczny(,S,P):
={!
1
,!
2
},gdzie!
1
-urodzeniedziewczynki,!
2
-urodzeniechłopca.
S={;,{!
1
},{!
2
},{!
1
,!
2
}}(mamy2
2
=4podzbiory2-elementowejprzetrzenizdarze«losowych).
3
gdzie
P
i
P({!
1
})=p
1
=0,5iP({!
2
})=p
2
=0,5(p
1
+p
2
=1).
Powy»szymodelmatematycznyjestpoprawny,jednakjestmałoadekwatnydosytuacjidemograficznej,np.w
roku1966cz¦sto±¢urodze«dziewczynekwynosiła0,484.Zatemdokładniejszymodelotrzymamyokre±laj¡c
funkcj¦p-stwawsposóbnast¦puj¡cy:P({!
1
})=p
1
=0,484iP({!
2
})=p
2
=0,516.
Niezale»no±¢zdarze«losowych
ZdarzeniaA,Bwp.p.(,S,P)nazywamyniezale»nymi,je»eli
P(A\B)=P(A)·P(B).
WprzeciwnymprzypadkuzdarzeniaA,Bnazywamyzale»nymi.
ZdarzeniaA
1
,A
2
,...,A
n
(n
>
2)lubzdarzeniaA
1
,A
2
,...,A
n
,...nazywamywzajemnieniezale»nymiwp.p.
(,S,P),gdydladowolnegosko«czonegopodzbioruA
i
1
,A
i
2
,...,A
i
k
zachodzi:
P(A
i
1
\A
i
2
\···\A
i
k
)=P(A
i
1
)·P(A
i
2
)·····P(A
i
k
).
Przykład4
Eksperymentlosowy:losowaniejednejliczbyz{1,2,3,4}.Modelmatematyczny:
={!
1
,!
2
,!
3
,!
4
}, !
i
-wylosowanieliczbyi
S-rodzinawszystkichpodzbiorów
P({!
i
})=p
i
=
1
4
, i=1,2,3,4.
Rozwa»myzdarzenia:A={!
1
,!
2
},B={!
1
,!
3
},C={!
1
,!
4
}.Wówczas
P(A)=P(B)=P(C)=
1
2
.
Poniewa»A\B=A\C=B\C={!
1
},toP(A\B)=P(A\C)=P(B\C)=
1
4
.Zatemzdarzenia:
AiBs¡niezale»ne,
AiCs¡niezale»ne,
BiCs¡niezale»ne.
Jednocze±nieA\B\C={!
1
},zatemP(A\B\C)=
1
4
.Czyli
P(A\B\C) 6=P(A)·P(B)·P(C)=
1
8
,
tzn.zdarzeniaA,BiCs¡zale»ne.
Przykład5
Zbada¢,któryznast¦puj¡cychukładówmawi¦ksz¡niezawodno±¢,przyzało»eniu,»eprzeka¹niki
działaj¡niezale»nieiniezawodno±¢ka»degoznichjestrównap(0<p<1).
4
Niezawodno±¢elementurozumiemyjakop-stwotego,»edziałapoprawniewci¡guokre±lonegoczasu.
Okre±lamyzdarzenialosowe:
A
i
-i-typrzeka¹nikb¦dziepracowałniezawodniewczasieT,i=1,2,3,4,P(A
i
)=p,
A-układ1b¦dziepracowałniezawodniewczasieT,
B-układ2b¦dziepracowałniezawodniewczasieT.
Ztre±cizadaniawynika,»ezdarzeniaA
1
,A
2
,A
3
,A
4
s¡niezale»ne.
Poniewa»A=(A
1
\A
2
\A
3
)[A
4
iB=(A
1
\A
2
)[(A
3
\A
4
), to
P(A)=P((A
1
\A
2
\A
3
)[A
4
)=P(A
1
\A
2
\A
3
)+P(A
4
)−P(A
1
\A
2
\A
3
\A
4
)=p
3
+p−p
4
P(B)=P((A
1
\A
2
)[(A
3
\A
4
))=P(A
1
\A
2
)+P(A
3
\A
4
)−P(A
1
\A
2
\A
3
\A
4
)=2p
2
−p
4
.
A»ebystwierdzi¢,któryzukładówjestbardziejniezawodnyustalamyznakró»nicy:
P(A)−P(B)=p
3
+p−p
4
−(2p
2
−p
4
)=p
3
−2p
2
+p=p(p−1)
2
>0.
ZatemP(A)>P(B),atooznacza,»ewi¦ksz¡niezawodno±¢posiadaukładpierwszy.
UwagaMateriałytenale»ytraktowa¢jakowstepdowykładówzRachunkuPrawdopodobie«stwa.Jednocze±nie,
mo»nawykorzysta¢materiałyte,przygotowuj¡csi¦dosprawdzianu,nale»yjejednakuzupełni¢owiedz¦ztematów:
•P-stwowarunkowe:W.Krysicki...(poz.lit10)-str.22,paragraf1.3
•P-stwozupełne,wzórBayesa:W.Krysicki...(poz.lit10)-str.28,paragraf1.4
•Elementykombinatoryki:W.Krysicki...(poz.lit10)-str.32,paragraf1.5
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]