RW4 1, Politechnika WIP, Semestr II, Kinematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
4
.
PODSTAWOWE POJĘCIA MECHANIKI ANALITYCZNEJ
Niniejszy rozdział jest pierwszym spośród kilku, w których pokażemy pożytki z pojęć i metod
Rachunku wariacyjnego w Mechanice analitycznej. Z tego powodu, a także mając na uwadze
tytuł podręcznika, wypada tu wyjaśnić co rozumiemy pod nazwą
Mechanika analityczna
.
4.1. Mechanika analityczna a niutonowska
Chyba każdy czytelnik napotkał takie nazwy jak:
Mechanika
,
Mechanika ogólna
,
Mechanika
techniczna
,
Mechanika teoretyczna
,
Mechanika klasyczna
, a w końcu
Mechanika analityczna
.
Czy istnie ostra i jasna definicja tej szczególnej gałęzi mechaniki jaką jest Mechanika
analityczna? Odpowiedź brzmi – nie. Nie ma powszechnie akceptowanej definicji Mechaniki
analitycznej. Możemy ją wszakże wyodrębnić spośród pokrewnych gałęzi mechaniki poprzez
wskazanie jej atrybutów.
SÅ‚owo
mechanika
pochodzi z języka greckiego i dosłownie oznacza sztukę budowy
maszyn. Jej naukowe podstawy stworzył Isaac Newton (1642-1727), który w 1687 r.
opublikował dzieło
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
. Zawarł w nim trzy
fundamentalne prawa dynamiki oraz prawo powszechnego ciążenia, a do rozwiązywania
wielu problemów zastosował rozwinięty przez siebie (jak też i Gottfrieda Wilhelma Leibniza
(1646-1716)) aparat rachunku różniczkowego. Mechanikę, której kierunek ponad trzysta lat
temu wyznaczył Newton nazywamy
mechanikÄ… niutonowskÄ…
. Charakteryzuje się ona tym, że:
-
do określania położenia układu materialnego używane są
współrzędne kartezjańskie
,
uzupełniane, w miarę potrzeb, kątami;
-
miarami oddziaływań i stanu układu są
wielkości wektorowe
np. siła, moment siły,
prędkość, pęd, kręt;
-
fundamentem sÄ… wektorowe
prawa bilansowe
, np. zmiany pędu i krętu.
Mechanika analityczna jako pojęcie wyróżniające względem
Mechaniki niutonowskiej
pojawiło się w XVIII wieku w dziełach wielkich matematyków francuskich, zwłaszcza
Josepha Louisa Lagrange’a (1736-1813), który w roku 1788 opublikował przełomowe dzieło
Mécanique analitique
. To właśnie ta praca wyznaczyła początkowy sens terminu Mechanika
analityczna i nadała dalszy kierunek rozwoju. Przedmiotem rozważań były układy
mechaniczne, które analizowano przy użyciu metod matematyki, przede wszystkim teorii
równań różniczkowych, rachunku wariacyjnego i teorii funkcji zmiennej zespolonej. Wkład
Lagrange’a w rozwój metod analitycznych mechaniki był tak duży, że pojęcia mechanika
analityczna i
mechanika lagranżowska
stały się tożsame. Wyróżnia ją to, że:
71
-
do określenia położenia układu materialnego używane są
współrzędne uogólnione
;
-
miarami oddziaływań i stanów energetycznych układu są
wielkości skalarne
, np. praca,
potencjał sił, energia kinetyczn, energia potencjalna;
-
fundamentem sÄ…
zasady wariacyjne
, np. Hamiltona, czy zasada Gaussa.
Różnicę między mechaniką niutonowską a lagranżowską można dostrzec także na
poziomie pojęć podstawowych, jak np. więzy. Otóż w
mechanice niutonowskiej
sÄ… to pewne
ciała (np. cięgna, podpory, przeguby, łożyska), które powodują, że rozważane ciało nie jest
już swobodne. Natomiast w mechanice analitycznej więzy oznaczają pewne związki
analityczne wyrażające fakt istnienia ciał odbierających swobodę ruchów ciała rozważanego.
W podręcznikach z mechaniki klasycznej układ rzeczywisty reprezentowany jest
zazwyczaj za pomocą modeli dyskretnych, tj. punktu materialnego, ciała sztywnego lub
skończonej kombinacji tychże, które dla skrócenia zapisu będziemy nazywali
układem
materialnym
. Metody Mechaniki analitycznej, w tym te majÄ…ce swe korzenie w Rachunku
wariacyjnym, mogą być z powodzeniem stosowane do modeli ciągłych. Chcąc je
zaprezentować, wyjdziemy poza standard włączając w rozważania najprostszy model ciągły –
ciało sprężyste. Inne, bardziej rozbudowane modele nie będą rozważane w tym podręczniku.
Podsumowanie.
Obszar zastosowań mechanik niutonowskiej i analitycznej jest w zasadzie
ten sam – układy materialne. Różnią je metody modelowania i analizy. Najbardziej istotna
różnica tkwi w fundamentach modelowania dynamiki układu. W mechanice niutonowskiej
tym fundamentem są prawa bilansowe dotyczące wielkości wektorowych (pęd, kręt), zaś w
mechanice analitycznej – zasady wariacyjne operujące wielkościami skalarnymi (energia,
praca sił).
4.2. WiĘzy i ich klasyfikacja
Rozważać będziemy ruch układu
n
punktów materialnych
względem pewnego inercjalnego
układu współrzędnych. Na położenia i/lub prędkości punktów układu mogą być nałożone
pewne ograniczenia zwane
więzami
. Układy materialne skrępowane więzami nazywają się
nieswobodne
w odróżnieniu od układów
swobodnych
, które nie podlegają żadnym więzom.
Ograniczenia swobody ruchu układu materialnego wyrażamy analitycznie zazwyczaj w
postaci
układu
równań
lub
nierówności
nazywanych
odpowiednio
równaniami
lub
nierównościami więzów
.
72
 Przykład 4.1.
Dwa punkty materialne
A
1
i
A
2
są końcami: (a) sztywnego pręta o długości
l
;
(b) wiotkiej, nierozciągliwej linki o długości
l
; (c) wysięgnika o regulowanej długości
l
(
t
)
(rys.4.1). Napisać zależności odzwierciedlające ww. sytuacje.
Rys. 4.1
RozwiĄzanie.
Odległość między punktami
A
1
i
A
2
równa jest długości pręta
l
. Mamy więc w
wypadku (a)
2
2
2
2
(
x
-
x
)
+
(
y
-
y
)
+
(
z
-
z
)
-
l
=
0
(a)
2
1
2
1
2
1
W wypadku (b), czyli gdy punkty
A
1
i
A
2
łączy linka, zachodzi nierówność
2
2
2
2
(
x
-
x
)
+
(
y
-
y
)
+
(
z
-
z
)
-
l
£
0
(b)
2
1
2
1
2
1
Jeśli odległość między punktami
A
1
i
A
2
może się zmieniać wg zadanej funkcji
l
=
l
(
t
), jak ma
to miejsce w wypadku (c), to równanie więzów przybiera postać jawnie zależną od czasu
2
2
2
2
(
x
-
x
)
+
(
y
-
y
)
+
(
z
-
z
)
-
l
(
t
)
=
0
(c)
2
1
2
1
2
1
Powyższy prosty przykład ułatwi nam przyjęcie i zrozumienie ogólnych definicji więzów
różnego rodzaju, które można klasyfikować wg różnych kryteriów; rozróżniamy zatem więzy:
-
geometryczne (pozycyjne) i kinematyczne (różniczkowe)
-
jednostronne (nierówność więzów) i dwustronne (równanie więzów)
-
materialne (fizyczne) i programowe
-
reonomiczne (zależne od czasu) i skleronomiczne (niezależne od czasu)
-
holonomiczne i nieholonomiczne
W celu uogólnienia przykładu 4.1 rozważmy układ złożony z
n
punktów materialnych,
których położenia mogą być określone za pomocą wektorów pozycyjnych
r
=
x
e
+
y
e
+
z
e
,
n
=
1
2
,
n
(4.1)
n
n
x
n
y
n
z
gdzie
x
,
y
,
z
są współrzędnymi kartezjańskimi
n
-tego punktu materialnego. Zapisy więzów
n
n
n
w ich ogólnej postaci odpowiadające kolejnym relacjom z przykładu 4.1 są następujące:
f
(
x
,
y
,
z
,
2
,
x
,
y
,
z
)
=
f
(
r
2
,
,
r
)
=
0
,
a
= 1,...,
a
(4.2a)
a
1
1
1
n
n
n
a
1
f
(
x
,
y
,
z
,
2
,
x
,
y
,
z
)
=
f
(
r
2
,
,
r
)
£
0
,
a
= 1,...,
a
(4.2b)
a
1
1
1
n
n
n
a
1
f
(
t
,
x
,
y
,
z
,
2
,
x
,
y
,
z
)
=
f
(
t
,
r
2
,
,
r
)
=
0
,
a
= 1,...,
a
(4.2c)
a
1
1
1
n
n
n
a
1
O funkcjach
f
a
zakładamy, że są klasy
C
2
.
Więzy definiowane każdym z wyrażeń analitycznych (4.2) nazywamy
więzami
geometrycznymi
. Ich cechą charakterystyczną jest to, że jawnie zależą od współrzędnych
x
,
y
,
z
punktów układu, lecz nie zależą od ich prędkości. Ponadto więzy (4.2a,b) jako
n
n
n
73
niezależne od czasu noszą nazwę
skleronomicznych
,
natomiast więzy (4.2.c) określamy jako
reonomiczne
.
Więzy wyrażane równościami (jak (4.2a) i (4.2c)) nazywamy
więzami
dwustronnymi
,
natomiast wyrażane nierównościami (jak (4.2b)) noszą nazwę
więzów
jednostronnych.
W tej książce nie będziemy się zajmowali więzami jednostronnymi i układami
skrępowanymi więzami tego typu; więcej na ten temat można znaleźć w pracach
[Grzesikiewicz, Wakulicz, 1986].
Więzy materialne
to takie, które są następstwem oddziaływań układów materialnych
ograniczających ruch innych obiektów będących przedmiotem badania, np. powierzchnia dla
toczącej się po niej kuli, łożyska ograniczające ruch wału, staw barkowy dla przedramienia,
prowadnica dla suwnicy, itp. Takie rozumienie pojęcia więzów okazało się niewystarczające,
zwłaszcza z chwilą, gdy metody mechaniki analitycznej zaczęto stosować w zagadnieniach
sterowania, a ogólniej syntezy. Wówczas pożądany ruch obiektu (ogólniej zachowanie się,
gdy byłby to układ niemechaniczny) mógł być traktowany jako więzy, które w odróżnieniu od
materialnych nazwano programowymi. Zatem w
ięzy programowe
są żądaniami, które mają
być realizowane w trakcie ruchu układu. Dobrym przykładem więzów programowych jest
tzw. ścieżka lądowania dla samolotu pasażerskiego, czyli tor lotu, po którym powinien
schodzić samolot, aby tzw. przyziemienie odbyło się bez uderzenia o płytę lotniska. Podobny
przykład: trasa, po której ma płynąć statek wzdłuż toru wodnego, aby nie wpadł na mieliznę
lub skały podwodne.
Przykład 4.2
.
Na koło zamachowe o momencie bezwładności
I
względem osi obrotu działa
zmienny moment obrotowy
M
=
M
cos
W
t
, (
M
0
oraz
W
są danymi wielkościami stałymi).
0
Na ramionach koła osadzone są dwa ciężarki, które można traktować jako punkty materialne o
masie
m
każdy. Odległość
r
tych ciężarów od środka koła można zmieniać dowolnie (rys.4.2).
Wyznaczyć funkcję
r
(
t
)
, według której muszą poruszać się ciężary, aby koło zamachowe
miało stałą prędkość kątową
w
mimo działania zmiennego momentu obrotowego. Założyć, że
w chwili początkowej ciężarki znajdują się w odległości
r
0
od środka koła (symetryczne
względem niego). Scharakteryzować uzyskany związek.
Rys.4.2, Rys.4.3
RozwiĄzanie.
Zastosujemy tutaj twierdzenie o zmianie krętu względem środka obrotu koła,
tzn.
d
K
dt
=
M
, które w postaci skalarnej (rzut na kierunek osi obrotu) przybierze postać
0
0
dK
0
=
M
cos
W
t
(a)
0
dt
74
Na kręt
K
0
składa się kręt koła zamachowego
K
k
=
I
w
(b)
0
oraz kręt obu ciężarków, który wynosi (rys.4.3)
K
c
=
2
mvr
=
2
mr
2
w
(c)
0
Zatem
2
K
=
I
w
+
2
mr
w
(d)
0
skÄ…d mamy
dK
O
#
=
4
m
w
r
r
(e)
dt
gdyż z założenia
w
= const. Po podstawieniu (e) do (a) otrzymujemy równanie różniczkowe
w
#
4
m
r
r
=
M
cos
W
t
(f)
O
Na tym etapie można powiedzieć, że uzyskany związek przedstawia więzy kinematyczne
niestacjonarne. Równanie (f) możemy jednak scałkować metodą rozdzielenia zmiennych
M
rdr
=
4
O
cos
W
tdt
(g)
m
w
skÄ…d mamy
1
M
2
O
r
=
4
sin
W
t
+
C
(h)
2
m
w
W
Z relacji (h), wziąwszy pod uwagę założenie o położeniu początkowym ciężarków, wynika że
1
2
0
r
=
C
(i)
2
dzięki czemu otrzymujemy związek końcowy
M
2
0
r
=
r
+
O
sin
W
t
(j)
2
m
w
ostatecznie charakterystyka uzyskanego wyniku jest taka: są to więzy programowe,
holonomoczne, niestacjonarne i oczywiście dwustronne.
Więzy geometryczne nakładają ograniczenia nie tylko na położenia, ale także na prędkości
i przyspieszenia punktów układu. Można to wykazać obliczając pierwszą i drugą pochodną
zupełną względem czasu funkcji (4.2c). Wykażemy zależność dla prędkości. Mamy:
df
¶
f
¶
f
¶
f
¶
f
n
=
∑
=
a
a
x
#
+
a
y
#
+
a
z
#
+
a
=
0
(4.3)
n
n
n
dt
¶
x
¶
y
¶
z
¶
t
n
1
n
n
n
Po wprowadzeniu oznaczeń wektora prędkości
#
#
#
#
v
=
r
=
x
e
+
y
e
+
z
e
(4.4)
n
n
n
x
n
y
n
z
75
[ Pobierz całość w formacie PDF ]