Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. Całka podtrójna, Prywatne, Budownictwo, Materiały, II semestr, ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI TRZECH ZMIENNYCH.
CAŁKA POTRÓJNA.
Def.
Obszar domkni
ħ
ty z przestrzeni R
3
,
V
V = (x, y, z) Î R
3
_
D
NOX
, g(x, y) £ z £ h(x, y), g, h Î C
0
(
_
D; R)
gdzie
: (x, y) Î
g(x, y) < z < h(x, y) dla (x, y) Î D
NOX
nazywamy
obszarem normalnym wzgl
ħ
dem płaszczyzny OXY.
..............................................................................................................
(NOY)
Niech F b
ħ
dzie funkcj
Ģ
rzeczywist
Ģ
trzech zmiennych okre
Ļ
lon
Ģ
na obszarze V
domkni
ħ
tym , normalnym wzgl
ħ
dem płaszczyzny OXY.
Całk
ħ
potrójn
Ģ
mo
Ň
emy zdefiniowa
ę
analogicznie jak całk
ħ
podwójn
Ģ
.
..................................................................................................................
Podamy jednak tylko
Tw.
Je
Ň
eli funkcja F jest ci
Ģ
gła na obszarze normalnym V wzgl
ħ
dem płaszczyzny OXY,
to:
d
=
b
a
Ð
È
È
j(x)
y(x)
Ð
È
È
h(x,y)
Ð
F(x, y, z)dz
×
Ù
Ø
Ø
ÐÐÐ
F(x, y, z) dxdydz
Ø
dy
Ø
dx.
(1)
V
É
É
g(x,y)
Ù
..................................................................................................................
Ì R
3
współrzednych oraz formułujemy twierdzenia wyra
Ň
aj
Ģ
ce zwi
Ģ
zek mi
ħ
dzy całk
Ģ
potrójn
Ģ
a całk
Ģ
iterowan
Ģ
w tych obszarach.
..................................................................................................................
normalny wzgl
ħ
dem pozostałych dwóch płaszczyzn układu
V
(wzgl
ħ
dem płasczyzn OXY lub OXZ lub OYZ ), które nie maj
Ģ
wspólnych punktów
wewn
ħ
trznych , nazywamy
obszarem regularnym
w przestrzeni R
3
.
..................................................................................................................
Tw.
Całka potrójna funkcji F (x,y,z), na obszarze regularnym domkni
ħ
tym w R
3
b
ħ
d
Ģ
cym sum
Ģ
sko
ı
czonej liczby obszarów normalnych (wzgl
ħ
dem płaszczyzn OXY, OXZ lub OYZ), które
nie maj
Ģ
wspólnych punktów wewn
ħ
trznych,
jest sum
Ģ
całek potrójnych tej funkcji na poszczególnych obszarach normalnych.
........................................................................................................................
1
oraz
Ç
Ç
×
Analogicznie okreslamy obszar V
Obszar domkni
ħ
ty b
ħ
d
Ģ
cy sum
Ģ
sko
ı
czonej ilo
Ļ
ci obszarów normalnych
Wybrane własno
Ļ
ci całki potrójnej.
Niech
F, G Î C
0
(V, R), a, b Î R, V = V
1
È V
2
, intV
1
Ç intV
2
= Æ
(iloczyn wn
ħ
trz),(2)
to
ÐÐÐ
[a F(x, y, z) + b G(x, y, z)] dxdydz =
ÐÐÐ
F(x, y, z) dxdydz + b
ÐÐÐ
G(x, y, z) dxdydz
=
a
(3)
V
V
.................................................................................................................................
ÐÐÐ
F(x, y, z) dxdydz =
ÐÐÐ
F(x, y) dxdydz +
ÐÐÐ
F(x, y, z) dxdydz
, (4)
V
V
1
V
2
....................................................................................................................................
ÐÐÐ
F(x, y, z) dxdydz ³ 0 dla
F(x, y, z) ³ 0 na V
.
(5)
V
................................................................................................................................
2
V
Tw. ( o zamianie zmiennych w całce potrójnej).
Je
Ň
eli
1.
odwzorowanie
x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u,v,w) przekształca
wzajemnie jednoznacznie wn
ħ
trze obszaru regularnego
D Ì R
3
na wn
ħ
trze obszaru regularnego
VÌ R
3
,
2.
funkcje
x, y, z Î C
1
( D ; R)
,
3.
funkcja
F Î C
0
( V ; R)
,
¶y
¶u
¶y
¶v
¶y
¶w
4.
jakobian J(u,v,w) =
¹ 0
na obszarze ,
¶z
¶u
¶z
¶v
¶z
¶w
to
ÐÐÐ
F(x, y, v) dxdydv =
V
ÐÐÐ
F(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) J(u, v, w) dudvdw
(6)
........................................................................................................................................
3
¶x
¶u
¶x
¶v
¶x
¶w
D
D
W przypadku, gdy obszar V jest sfer
Ģ
lub wycinkiem tej figury, a tak
Ň
e i w niektórych innych przy-
padkach, cz
ħ
sto wygodnie jest przy obliczaniu całki potrójnej wprowadzi
ę
a) współrz
ħ
dne sfe-
ryczne ( kuliste )
x = R cos q cos j, y = R cos q sin j, z = R sin q
.
z
P(x,y,z)
R
q
y
y
P'(x,y,0)
j
r
r
x
P'(x,y,0)
j
x
W tym przypadku jakobian przybiera posta
ę
:
¶x
¶u
¶x
¶v
¶x
¶w
¶x
¶R
¶x
¶j
¶x
¶q
¶y
¶u
¶y
¶v
¶y
¶w
¶y
¶R
¶y
¶j
¶y
¶q
J(u,
v, w
) =
=
=
¶z
¶u
¶z
¶v
¶z
¶w
¶z
¶R
¶z
¶j
¶z
¶q
=
cos q cos j − R cos q sin j − R sin q cos j
cos q sin j R cos q cos j R cos q cos q
sin q
= R
2
cos
q
0
R cos q
i wzór (6) ma posta
ę
ÐÐÐ
F(x, y) dxdy =
V
=
ÐÐÐ
F(R cos q cos j, cos q sin j, R sin q) R
2
cos q dRdq dj
D
4
lub
b)
współrz
ħ
dne cylindryczne ( walcowe )
x = r cos j, y = r sin j, z = z
z
P(x,y,z)
y
r
x
W tym przypadku jakobian przybiera posta
ę
:
¶x
¶u
¶x
¶v
¶x
¶w
¶x
¶r
¶x
¶j
¶x
¶z
cos j − r sin j 0
sin j r cos j 0
0
¶y
¶u
¶y
¶v
¶y
¶w
¶y
¶r
¶y
¶j
¶y
¶z
J(
u, v, w
) =
=
=
= r.
0
1
¶z
¶u
¶z
¶v
¶z
¶w
¶z
¶r
¶z
¶j
¶z
¶z
i wzór (6) ma posta
ę
ÐÐÐ
F(x, y) dxdy =
V
ÐÐÐ
F(r cos j, r sin j, z) r drdz dj
5
D
[ Pobierz całość w formacie PDF ]